top4

16

I. Podstawowe pojęcia

Para (X, C(dj) jest faktycznie przestrzenią topologiczną; przekonując się o tym, nasz ewentualny nowicjusz znów będzie miał okazję do wprawienia się. Lecz nawet bardziej wyrobiony Czytelnik może w tym miejscu podrapać się w głowę i patrząc zamglonym wzrokiem dociekać przez chwilę, do czego w tym wszystkim potrzebna jest nierówność trójkąta.

Ano właśnie: Zupełnie do niczego! Ale gdy tylko będziemy chcieli robić coś z taką przestrzenią topologiczną [X, 0(d)), nierówność trójkąta stanie się bardzo użyteczna. Pozwoli nam ona, na przykład, stwierdzić, że podobnie jak w /?", każdy punkt y, dla którego d(x. y) < £. można otoczyć dostatecznie małą Ó-kulą całkowicie zawartą w s-kuli o środku x:

a w konsekwencji, że „otwarta kula” K_t{x) jest faktycznie zbiorem otwartym. Wobec tego podzbiór U c X jest otoczeniem x wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewną kulę o środku x.

Różne metryki mogą niekiedy indukować tę samą topologię w zbiorze X. Jeśli d oraz d’ są dwiema metrykami w X, przy czym każda kula o środku x względem metryki d zawiera pewną kulę o środku x względem metryki d', to oczywiście każdy J-otwarty zbiór jest <f-otwarty, tzn. ó{d) c ®{d'). Jeśli ponadto odwrotna relacja także zachodzi, to obie topologie pokrywają się: &(d) = <P(d'). Przykładem na to jest X := R² z metrykami

d(x, y) :=^^r(x_l-y_l)² + (x₂-y₂)²>    d (x, y) := max{|x, -y,|. \x₂-y₂\}.

A oto prosta, lecz pouczająca sztuczka, którą warto poznać niezwłocznie, istny talizman chroniący przed fałszywymi przypuszczeniami odnośnie do relacji pomiędzy metryką a topologią: Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to jest nią także