top14

26

I. Podstawowe pojęcia

Przykład 3. Jeśli    jest pokryciem lokalnie skończonym przestrzeni X (tzn.

każdy punkt ma otoczenie przecinające jedynie skończoną liczbę zbiorów A_;), przy czym X jest zwarta, to pokrycie to jest skończone.

Przykład 4. Niech X będzie przestrzenią zwartą. Jeśli podzbiór A <= X jest lokalnie skończony (sformułuj definicję!), to jest skończony. Inaczej mówiąc, jeśli A <=. X jest nieskończony, to istnieje punkt xeX, którego każde otoczenie zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru A.{¹)

Przykład 5. Niech M będzie rozmaitością (np. otwartym podzbiorem w R"), a v - polem wektorowym na Af. Oznaczmy przez a_x: = ]a,, b_x[ -* M maksymalną krzywą całkową pola v taką, że a_x(0) = x. Wielkości a_x i b_x (dodatnie, lecz niekoniecznie skończone) mają prostą interpretację. Punkt x dzieli przechodzącą przez niego trajektorie na dwie części; przebycie pierwszej z nich (poprzedzającej x) wymaga czasu a_x, a przebycie drugiej (poprzedzanej przez x) wymaga czasu b_x. Z lokalnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych wiadomo, że lokalnie a_x i b_x mają dodatnie ograniczenia dolne. Zatem również - i tutaj powracamy do zwartości - dodatnie ograniczenia dolne mają te wielkości na każdym zwartym podzbiorze X c Af. Zauważmy teraz, że, w miarę poruszania się punktu x po trajektorii, wielkość a_x rośnie, a b_x - maleje:

Wobec tego na każdej trajektorii wielkość b_x. o ile jest skończona, maleje do zera. Wynika stąd dobrze znany i użyteczny lemat: Jeśli dla punktu x zwartej podprzesirzeni X c Af wielkość b_x jest skończona, to przed upływem czasu b_x punkt x musi na zawsze opuścić zbiór X. Co w takim razie będzie, gdy punkty nie mają możliwości opuszczania X, np. gdy brzeg X jest zabarykadowany wektorami pola v skierowanymi stale do wnętrza, bądź gdy Af = X jest zwarte?

(^l) 7atcm każdy nieskończony podzbiór A przestrzeni zwartej ma punki skupienia, tzn. taki punkt xeX, który należy do domknięcia zbioru    (Przyp. tłum.)