2335501606

3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15

3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną

3.1    Działanie grupy na zbiór

Niech X będzie zbiorem, a G grupą.

Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie (zwane działaniem grapy G na X)

..GxX^X, (g,x)>—>gx,

spełniające warunki:

(1)    ex — x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G,

(2)    g(hx) = (gh)x, dla g,h € G, x G X.

Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G —> S(X), gdzie S(X) jest grupą wszystkich permutacji zbioru X.

Przykład 3.1.2.

(1)    Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Działanie G x X —» X określamy jako (g,x) i-> g(x), tzn. gx — g(x).

(2)    G = 1-2 — {—1,1}, X = Z₂ x Sⁿ —* §”, (a,x) i-» ax, tzn. (±)x = ±x.

(3)    G = Z, X = R, ax = x + a.

(4)    G = Z x Z, X = R², (a, b)(x, y) = (x + a,y + a).

(5) G = Z, X = {(x,y) € R²; — | ^ y ^ |}, Działanie Zxl —* X określamy wzorem (a, (x,y)) (x + a,{-l)^ay).

(6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H x G —» G, (h,g) 1—» hg. Grupa G jest więc H-zbiorem.

(7)    Niech G będzie grupą i X — 2^G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy G x 2^g —► 2^g, przyjmując

(g,U) ^ gU = {gu; ueU}.

Zbiór 2^g jest więc G-zbiorem. KI

Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X —> X postaci x 1—* gx, jest bijekcją.

3.2    Przestrzeń orbit

Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ~ w X, przyjmując: x~y 3_geG y = gx.

Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x 6 X, to orbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór

Gx = {gx-, g € G}.

Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbit G-zbioru X.

Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem.

Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X. Przykład 3.2.2.

(1)    G = 1.2 = {-1,1}, X = §ⁿ, Z₂ x Sⁿ —* Sⁿ, (o,*) i-» ax. Wtedy Sⁿ/Z₂ = Pⁿ(R) jest przestrzenią rzutową rzeczywistą.

(2)    G = Z, X = R, Z x R —» R, ax = x + a. Wtedy R/Z = S¹.

(3)    G = Z, X = {(x,y) £ R²;    < y < i}, Z x X —> X, (a,(x,y)) ^ (* +o,(-l)^ay). Wtedy

X/'Ł jest wstęgą Móbiusa. 13