top16

28

I Podstawowe pojęcia

otwarte pokrycie przestrzeni X. Można z niego wybrać skończone podpokrycic:

(X\A)vV_Xl...uV_Xr = X. a zatem U_itv...vU-_r = A. □

Stwierdzenie 3. Produkt kartezjański (lub suma rozłączna) dwóch nie pustych przestrzeni X i Yjest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy obie przestrzenie X i Y są zwarte.

Dowód. (Wykażemy jedynie, że zwartość czynników implikuje zwartość produktu kartezjańskiego, co stanowi najważniejszą i najtrudniejszą część twierdzenia; odwrotna implikacja wynika ze stwierdzenia 1, natomiast część dotycząca sumy rozłącznej jest trywialna.) Niech {W^}^ będzie otwartym pokryciem produktu X x Y zwartych przestrzeni X i Y.

Krok 1. Dla każdego (x, >•) wybierzmy /.(x, y) takie, że (x, y)e W_X(Xty}; zbiór W_MXiJ), będąc otwartym, zawiera otwartą kostkę C/_<x,_y>x zawierającą (x, yX

Krok 2. Dla ustalonego x rodzina {V_u._r}^r stanowi otwarte pokrycie Y, więc, wobec zwartości Y. istnieją y,(x).....y,_v(x) takie, żc

Weźmy U_x: = U_(x,_yi(x))n... n U_{x,_yr^_xn.    \

Krok 3. Wobec zwartości X można wybrać x_t.....x„, dla których

U_Xl u... '■jU^ = X. Wówczas zbiory V_Xix gdzie 1 < i < n. I śj < r_xt, two-J rzą skończone pokrycie X x Y, a zatem    ma skończone podpokrycie,

Z trzech powyższych stwierdzeń oraz ze zwartości przedziału domkniętego_t wynika łatwo zwartość wielu innych przestrzeni, np. każdego domkniętego podzbioru n-wymiarowej (domkniętej) kostki czy też, co na to samo wychodzi, każdegoj ograniczonego i domkniętego podzbioru w R*. Wynik len stanowi połowę słynnego twierdzenia Heinego Borela, że podzbiór przestrzeni Rⁿ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i domknięty. Dlaczego każdy zwarty podzbiór X₀ c R^r musi być ograniczony? Otóż, jak już wiemy, każda funkcja ciągła jest na zbiorze zwartym ograniczona; wystarczy zastosować to do funkcji, jaką jest norma w R", aby dostać ograniczoność X₀. Z kolei domkniętość X₀ zapewnia nam następujący prosty, lecz pożyteczny