9414912657

83

© MIM UW, 2011/12

Definicja 4.7 (miara zewnętrzna). Funkcję p*: 2^X —> [O, +oo] nazywamy miarą zewnętrzną na X, jeśli ą*{l) = O, p(A) < p(B) dla wszystkich A C B C X i wreszcie

/'•(u    dla wszystkich A\,A₂,... € 2^X.    (4.1)

Własność (4.1) nazywa się przeliczalną podaddytywnością miary zewnętrzne.

Definicja 4.8 (miara). Niech & C 2^X będzie a-ciałem. Funkcję p: & —\ [O, +oo] nazywamy miarą na &, jeśli p(jb) = O oraz

pAij = ^2 iĄAi) dla wszystkich parami rozłącznych A\, A₂,    (4.2)

Własność (4.2) nazywa się przeliczalną addytywnością miary.

Podamy teraz kilka prostych własności miary, wynikających łatwo z definicji, następnie zaś sformułujemy ważne twierdzenie, wskazujące, jak dla danej miary zewnętrznej p* na X wyróżnić pewne cr-ciało & c 2^X, na którym funkcja p* — jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki - staje się miarą, tzn. spełnia nie tylko (4.1), ale i mocniejszy, naturalny warunek (4.2).

Stwierdzenie 4.9. Niech & C 2^X będzie a-cialem, a p- miarą na Wówczas:

(i) p(A) < p(B) = p(A) + p(B \ A) dla wszystkich A c B €

(ii) jeśli Ai c A2 C A3 c ..	Ai e to
(iii) jeśli A\ D A2 D A2 D ..	., Ai € & i p{A\) < oo, to
	.(RA) = Um/>(A)-

Dowód. Własność (i), tzw. monotoniczność miary, uzyskujemy, kładąc w (4.2) A\ — A, A₂ = B\ A€.^iAj=® dla j > 3. Wtedy (J Aj = A U (B \ A) = B i zbiory Aj są parami rozłączne. Dlatego, wobec (4.2),

p{B) = p(A) + p(B \ A) + //(0) + p(0) H----= p{A) + p(B \ A) > p(A).

Aby wykazać (ii), przyjmiemy Pi = A\ i Pj = Aj \ Aj-1 dla j = 2,3,____Wtedy [jAj =

U Pj, zaś wobec założenia Ai C A₂ C Az C ... zbiory Pj są parami rozłączne. Dlatego, wobec równości p(Pj) = p(Aj) — p(Aj-i),

m(Ua) ="(U^pi)

S'=l '    S=1 '    3=1

= p(Ai) + (p(A₂) - ą(A\)) + (p(Az) - p(A₂)) H----

= lim p(Aj),