9414912644

89

© MIM UW, 2011112

Zdefiniujemy teraz miarę zewnętrzną Lebesgue’a w Rⁿ.

Definicja 4.20. Dla każdego idR" kładziemy

A* (A) = inf< ^2 ^V°1 (Pj) '■ {Pj}jen jest rodziną przedziałów pokrywającą A >.

i    '

Uwaga 4.21. W powyższej definicji można rozpatrywać tylko przedziały domknięte, albo tylko przedziały otwarte, albo przedziały obu rodzajów. Nie wpływa to na wartość A* (A). Wnikliwy Czytelnik zechce się zastanowić, dlaczego tak jest.

Stwierdzenie 4.22. Funkcja A* jest miarą zewnętrzną na Rⁿ.

Dowód. Po pierwsze, A*(0) = 0, gdyż zbiór pusty można, dla każdego e > 0, przykryć jednym przedziałem o objętości eⁿ. Po drugie, dla A c B jest A* (.4) < A* (B); to wynika wprost z definicji kresu dolnego, gdyż każda przeliczalna rodzina, która pokrywa zbiór B, pokrywa także A.

Pozostaje sprawdzić przeliczalną podaddytywność A* . Niech Aj C R" dla j = 1,2, — Bez zmniejszenia ogólności niech A* {Aj) < oo dla wszystkich j € N. Ustalmy e > 0. Dla każdego j e N dobierzmy taką rodzinę przedziałów {Pj,k}ken pokrywającą zbiór Aj, żeby

f>l (Pj,k)<K(A_j) + ^, i = 1,2....

k= 1

Sumując te nierówności (kolejność sumowania nie gra roli, gdyż mamy do czynienia ze zbieżnymi szeregami o wyrazach dodatnich), otrzymujemy

E    £ EK(Aj) + E^ = EK(Aj)+e.

j,k=i    j= i    j=i i=i

Rodzina {Pj,k}j,keN jest przeliczalna i pokrywa zbiór A — Ujli Dlatego, z definicji,

K ( U £ E ^Vo1 W.*) £ E ^Xn(Aj) +£ ■

\'=1 ^J J‘A=1    J=i

Przechodząc do granicy e —> 0, kończymy dowód. □

Twierdzenie 4.23. Funkcja A* jest miarą zewnętrzną metryczną na Rⁿ.

Dowód. Niech A, B c Rⁿidist (A, B) > 2d> 0. Aby wykazać, że A*(AuB) = A*(A)+A*(R), wystarczy sprawdzić nierówność

X*_n(ALlB)> X*_n(A) + X*_n(B),    (4.13)

gdyż wiemy już, że A* jest podaddytywna.

Ustalmy e > 0 oraz przeliczalną rodzinę SA przedziałów domkniętych pokrywającą zbiór AU B i taką, że

vol (F) < A*_n{A U B)+e.

Pe&>