img211

11.1.3 Wielowymiarowa miara dyskryminacyjna, funkcje dyskryminacyjne, dyskryminacja

Zdefiniujemy teraz miarę, która da wyraz temu, w jakim stopniu poziomy czynnika naruszają hipotezę zerową. Im większe są efekty działania czynnika, tym większe będzie naturalne zróżnicowanie w zachowaniu się struktur zmiennych. Dlatego miara wprowadzona niżej nazwana została miarą dyskryminacji, a dokładniej wielowymiarową miarą dyskryminacyjną p zmiennych. Miarą tą jest T², tzn.

T²(y_u...,y_p) = tr(HG~').

W obecnie omawianym konkretnym przypadku dwóch zbiorowości otrzymujemy

T²(y_lt ...yj

^p «, + n₂-2 Hj + n₂

(11.20)

Wielkość (11.20) określa, w jakim stopniu dane dwie próby przeczą hipotezie ^ innymi słowy jak duży jest wzajemny ..odstęp statystyczny” omawianych dwóch populacji.

Rozważmy teraz określoną kombinację liniową danych p cech y_Y, .... y_p. Niech mianowicie

(11.21)

v = d_l y_l+d₂y₂ + ... + d_py_p.

gdzie wektor d o składowych </,, d₂, .... d_p dany jest wzorem:

d = S~'(y_]-y₂).    (11.22)

We wzorze (11.21) należy traktować wielkości .... y_p, jak również v jako zmienne. Mamy więc

v = d^Ty = (y_l -y₂)^TS~^l y.    (11.23)

Cecha v jest nową cechą, którą na podstawie ostatnich równań można obliczyć dla każdego obiektu. Ma ona w obu rozważanych populacjach wartości średnic

V| = 0’1 -y2.fs-'yi.    .    (11.24)

^v2 = 0'i.->^,2/^5wI>i    *    (11.25)

211