9414912646

91

© MIM UW, 2011112

Twierdzenie 4.26 (charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a).

Niech A C R". Następujące warunki są wówczas równoważne:

(i)    A € i?(Rⁿ);

(ii)    Dla każdego e > 0 istnieje zbiór otwarty S)cKⁿ taki, że A C fl i A* (fl \ A) < e;

(iii)    Istnieje zbiór G C R" typu Gs taki, że A c G i A* (G \ ^4) = 0;

(iv)    Dla każdego e > 0 istnieje zbiór domknięty F Cl" taki, że F c A i A* (.4 \F) < e;

(v)    Istnieje zbiór F c R" typu F_a taki, że F c A i \„(A \ F) =0.

Dowód, (i) =>■ (ii). Przedstawmy zbiór nijako sumę zbiorów mierzalnych i ograniczonych,

A=[_]Aj, A_t = .4nB(0,l), Aj = AC (B(0,j)\B(0,j -1)) dla j > 2.

3=1

Mierzalność Aj wynika z mierzalności kul otwartych (które należą do d§(Rⁿ) C -Sf(Rⁿ)) i z faktu, że <£f (Rⁿ) jest ciałem.

Ustalmy e > 0. Dla każdego je N wybierzmy rodzinę przedziałów otwartych {Pjjc}keN, pokrywającą Aj zbiór Aj i taką, że

Evol(P_M)<K(Aj) + ^.    (4.14)

Niech flj będzie sumą wszystkich przedziałów rodziny £Aj. Oczywiście, flj jest zbiorem otwartym. Ponadto,

A n(Aj) <\„(nj)<fj A „(Pjj,) < fj vol (P_M) < A „(Aj) + i < oo,

fc=l    fc=l

gdyż zbiór Aj zawiera się w pewnym przedziale, a miara Lebesgue’a każdego przedziału wprost z definicji jest mniejsza lub równa od jego objętości. Ponieważ flj ma miarę skończoną i Aj C flj, więc

X,(Slj\A_j) = \,(S2j)-)>_i(Aj)<£.

Niech (i = Ujii wboec otwartości wszystkich flj zbiór fl jest otwarty, a dzięki mono-toniczności i przeliczalnej addytywności miary

A„(S1 \ A) < f) A„(!2j \ Aj) < f) £ = e.

3=1    3=1

(ii) => (iii). Dla m = 1,2,... wybierzmy zbiór otwarty fl_m D A tak, aby A* (fl_m \ A) < 1/m. Zbiór G = Dm=i jest typu Gs, AeGi mamy

A* (G \A)< A* (fl_m \ A) < ——> 0    dla m —> oo.