9414912636

Wykład 3

Miara zewnętrzna

Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję//* przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę fi*(A) € [0, +oo] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli:

(i)    /*•(») = o,

(ii)    dla dowolnych zbiorów A C X, A_n C X, n e N zachodzi

Ac 0A,^m<X>W

Twierdzenie 3.1 (własności miary zewnętrznej) Jeśli p* jest miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X, to

(i) Ac 0 A_n => p*{A) < EfiAn),

(u) /<*( J3 a„) <

(iii)    < £^*(4.),

(iv)    A C B =>■ p*(A) < p*(B),

dla dowolnych zbiorów A, B C X i A_n C X, n € N.

Dowód Wykażemy wszystkie warunki po kolei.

(i) Wynika z Definicji 3.1 (i) i (ii) jeśli przyjmiemy A_m+1 = A_m+2 = ... = 0.

1