Obraz2 2

166

167

Dla dostatecznie dużego n można przyjąć, że jln-3 = V2n . Nierówność pod znakiem prawdopodobieństwa napiszemy więc w postaci:

-u_a <^2%² -4ln <u_a.    (5-32)

Uwzględniając, że między zmienną losową chi-kwadrat a estymatorem wariancji zbiorowości statystycznej istnieje ścisły związek, wyrażający się wzorem:

(5.39)

1-

y[2n

X² =

nS‘

(5.33)

nierówność (5.32) zapiszemy w postaci:

-u„ <

2 nS‘

-yfln <u_a.

(5.34)

Rozwiązując nierówność (5.34) względem wariancji, znajdujemy:

S²    o    S²

<cr <

(5.35)

Przykład 5.5

Strukturę trzyosobowych gospodarstw domowych w pewnym regionie w Polsce pod względem miesięcznych wydatków na żywność opisuje rozkład normalny \V(m, o^-). Zarówno średnia wielkość wydatków jak i poziom zróżnicowania gospodarstw domowych pod względem interesujących nas wydatków mierzony odchyleniem standardowym nie są znane. Przyjmując poziom ufności równy 0,95 zbudować przedział ufności dla wariancji wydatków zbiorowości trzyosobowych gospodarstw domowych w tym regionie.

Ze zbiorowości gospodarstw wylosowano próbę 100 gospodarstw. Dla tej próby obliczono średnią arytmetyczną wydatków i odchylenie standardowe, otrzymując:

x = 624,15 zł,

5 = 240,26 zł.

1 +

*j2n.

Mamy więc, że współrzędna dolnej granicy przedziału ufności jest równa:

S²

-

2 ’

(5.36)

Wykorzystując warunki zadania i powyższe informacje oraz biorąc pod uwagę fakt, że próba jest liczna, otrzymujemy odpowiednio:

- współrzędną punktu początkowego przedziału:

57724,8676

1 +

V2n

zaś współrzędna punktu końcowego przedziału ufności wyraża się wzorem:

S²

\

(5.37)

1 +

1,96

V2ÓÓ

57724,8676

1,2964

44527,05,

- współrzędną punktu końcowego przedziału:

1-

Pierwiastkując wyrażenie (5.36) oraz wyrażenie (5.37), znajdujemy współrzędne punktu początkowego i punktu końcowego przedziału ufności dla odchylenia standardowego równe:

S

(5.38)

57724,8676

^1_71o)

57724,8676

0,742

77796,32.

J~2n

Na podstawie uzyskanych wyników możemy z dużym poziomem ufności twierdzić, że uzyskany przedział (44527,05; 77796,32) pokrywa nieznaną wariancję wydatków gospodarstw domowych badanego regionu.

Odpowiednio dla odchylenia standardowego otrzymujemy następujące realizacje dolnej i górnej granicy przedziału ufności:

s_d =tJsI ~ 211,01 zł,

1 +