str008

22

121.    Niech p" będzie miarą zewnętrzną Lebesgue'a rozważaną na wszystkich podzbiorach przestrzeni A' = [0,1]. Określmy funkcje

_Rl(A,B) = p^m(A-B) + p‘(B-A), pi(A,B) = p{(A-B)U(B-A)),

dla dowolnych A, B C [0.1]. Wykazać, że p\, pi są pseudometrykami.

122.    Udowodnić, że pseudometryki pi, pi określone na zbiorze 2^°x 2t^0,1i i zdefiniowane w zadaniu 120 są różne.

123.    Udowodnić, że pj(A,B) = 0 (patrz zadanie 120) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zbiory Zi,Zi C [0,1] mierzalne w sensie Lebesgue’a takie, że p{Z\) = p(^2) = 0 i AU Zi = J3 U Zi.

124.    Określmy relację ~ w sposób następujący: A ~ B wtedy i tylko wtedy, gdy p(A A B) = 0, gdzie A,B 6 0Jl(p) (patrz zadanie 120). Udowodnić, że relacja ~ jest relacją równoważności.

125.    Rozważmy rodzinę zbiorów 031(p), identyfikując zbiory A,B E OT(p) (patrz zadanie 120),jeżeli spełniają warunek A~ B (patrz zadanie 124). Niech p(A,B) = fi(A A B) dla dowolnych A.B € OT(p). Wykazać, że funkcja p jest metryką w przestrzeni VA[p).

126.    Udowodnić, że funkcja p : OT(p) —* ®. (patrz zadanie 125) spełnia warunek Lipschitza.

127.    Udowodnić, że. przestrzeń OT(p) z metryką p (patrz zadanie 125) jest przestrzenią zdpelną.

128.    Niech p będzie miarą Lebesgue’a określoną na OT C 2^a. Wykazać, że przestrzeń OT(p) z metryką p (patrz zadanie 125) jest przestrzenią ośrodkową.

129.    Wykazać, że jeżeli X = [0,1], OT jest tr-cialem zbiorów borelowskich zawartych w [0,1], p jest miarą Lebesgue’a, to (DJl(pi), p) nie jest przestrzenią zwartą (patrz zadanie 125).

130.    Niech p będzie, skończoną miarą Lebesgue‘a określoną na or-ciele OT. Rozważmy przestrzenie metryczne (OT,p) oraz (OT x 0)1, p), gdzie p(A,B) = p(A A B), A, B 6 OT, p((Aj, Bi), (Ai, Bi)) = p( Ai, Aj) + p(Bi, Bj), Ai, Aj, Bi, Bj € OT. Wykazać, że funkcje /,• : 951 x [Ul — 031 dla i = 1,2,3 określone wzorami /i(A, B) = AUB, /j(A, B) = A n B, /3(A, B) = A A B, są ciągle oraz funkcja / : 0)1 — OT określona wzorem /(A) = .V - .4 jest ciągła.

131.    Niech u będzie skończoną miarą określoną na ff-ciele OT C 2^A . Udowodnić, że funkcja zbioru u jest ciągła w punkcie A 6 031 w przestrzeni (OT,p), gdzie pf A, B) = p(A A B), wtedy i tylko wtedy, gdy u jest ciągła w 0.

132.    Niech p będzie nieujemną funkcją zbioru określoną na <r-ciele 031 spełniającą warunki:

1)    P(0) = O.

2)    p(u?=i -⁴>) = E“=i M-⁴"). i^eśli -⁴«ⁿ Ai -^{0 dl&}»i. *.i et¹.².....ⁿ).

3)    jeżeli {A„},_i6b jest dowolnym zstępującym ciągiem zbiorów należących do 031 takim, że lim_n_₀₀ A„ = 0, to lim„_oo p(A_n) = 0.

Wykazać, że p jest miarą.

133.    Niech {^nlngll będzie ciągiem skończonych miar określonych na o-ciele 9J1 C 2^A i dla dowolnego A £ 9)1 niech

... v_^lL_

M"¹) - 2_/ 2" (1 + ^„(A'))'

Udowodnić, że p jest skończoną miarą na 931 i u_n dla dowolnego n £ N jest funkcją ciągłą określoną w przestrzeni (5)1, p), gdzie p(A, B) = p[A A B).

134.    Niech    będzie ciągiem skończonych miar określonych na <r-ciele 531

i niech dla dowolnego .4 6 531 istnieje lim„—« v_n{A) = v(A) < co. Wykazać, że v jest miarą.

135.    Niech p będzie miarą bezatomową (patrz definicja 18) określoną na cr-ciele 5)1. Udowodnić, że dla dowolnego zbioru .4 £ 531 takiego, że p(A) > 0 i dla dowolnej liczby l>, 0 < b < p(A), istnieje zbiór B £ 531 taki, że B C A i p[B) = b.

136.    Niech p będzie miarą skończoną określoną na rr-ciele 531 C 2^A’. Udowodnić, że A' = (J”o ^xi> 8^{dzie n} xi = ® ^dla * r j, -^o jest zbiorem bezatomowym (patrz definicja 18) albo A'o jest zbiorem pustym, natomiast X{ jest albo atomem albo zbiorem pustypi dla i = 1,2,...

137.    Wykazać, że zadanie 136 można uogólnić, zakładając, że miara p jest pól-

skończona, tzn., że .Y =    .4,- i p(A,) < +co dla i £ M.

138.    Pokazać na przykładzie, że jeżeli miara p nie jest pólskończona, to przestrzeni X nie można przedstawić w postaci danej w zadaniu 136.

139.    Udowodnić, że jeżeli p jest miarą bezatomową określoną na a-ciele 531 C 2^A

i p(X) = 1, to dla dowolnego ciągu {pnjneN takiego, że 0 < p» <1 istnieje ciąg-zbiorów    spełniający warunki p(E_n) = p„ i p[Ek_l n Ek, fi ...fi Et\) =

p(Ein) ■ p(Ek_a) ■... ■ p{Eki), gdzie i oraz Jfci.Jbj,... ,k_{ są dowolnymi liczbami naturalnymi. . . , k .    •

140.    . Niech ,p,będzie miarą bezatomową określoną na c-ciele 531 C 2^A" taką,

że 7i(.Y) = 1. Udowodnić, że istnieje ciąg mierzalnych zbiorów    taki, że

lim„_<>o p(E„) = 0 oraz lim_n ^ E_n = 0 i lim„_co E_n = X.

141.    Podać przykład miary ściśle dodatniej (patrz definicja 20).

142.    Udowodnić, że jeżeli p jest miarą skończoną ściśle dodatnią (patrz definicja 20) określoną na cr-ciele 5)1 C 2^X, to p jest miarą czysto atomową (patrz definicja ¹⁹>'

\f 143. Niech pbędzie miarą skończoną określoną na c-ciele 531. Niech A_n,B„,A, B £ 5)1 dla n £ N. Wykazać, że jeśli A„ .4, B„ — B, to .4,, US_n — AU B, A„ D B„ — A n B, A_n - B_n A - B (patrz definicja 21).

pi

144.    Niech p będzie miarą. Wykazać, że jeśli A„ —* A (patrz definicja 21), to lim_n—oo p[A_n) — /r(A„).

145.    Niech p będzie miarą skończoną. Wykazać, że jeżeli ze zbieżności według miary p mierzalnych zbiorów wynika zbieżność prawie wszędzie (patrz definicje 21, 22), to miara p jest czysto atomowa (patrz definicja 19).