str009

/

Rozdział II

»\ ^:

FUNKCJE MIERZALNE

Definicja 24. Niech / : X -* RU{-oo,+oo}. Niech /z będzie miarą określoną na tr-ciele OT C 2^X. Mówimy, że / jest funkcją mierzalną, jeżeli dla dowolnego a £ IR. zachodzi {* : /(i) < a} £ OT.

Definicja 25. Niech .4 C X. Funkcję

I 1, dla x £ A,

| 0, dla r £ X - A,

nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru A.

Definicja 26. Niech fi będzie miarą określoną na a-ciele OT C '2*. Mówimy, że

ciąg funkcji    mierzalnych, skończonych, określonych na zbiorze .4 £ OT jest

zbieżny według miary (co oznaczamy /„ —- /) do funkcji mierzalnej, skończonej /, określonej na A, jeżeli dla dowolnej liczby rj > 0 zachodzi

lim p({x : |/_n(x) - /(s)| > rj}) = 0.

Definicja 27. Niech n będzie miarą określoną na <r-ciele OT C 2^A. Mówimy, że ciąg funkcji {/„}„₆i< mierzalnych na X jest zbieżny prawie wszędzie do funkcji / (co oznaczamy /„ —* / (prawie wszędzie)), jeżeli f„ f na X - A i jx(A) = 0.

Definicja 28. Mówimy, że własność W zachodzi prawie wszędzie, jeżeli zbiór A składający się z tych i tylko tych punktów, dla których własność W nie zachodzi ma miarę zero.

Definicja 29. Niech /i będzie miarą określoną na a-ciele OT C 2^X. Mówimy, że ciąg funkcji {/_n}n£H określonych na .V jest zbieżny prawie jednostajnie do f (co oznaczamy Sn —' / (prawie jednostajnie)), jeżeli dla dowolnego e > 0 istnieje zbiór E taki, że |i(£) < j i /„ dąży jednostajnie do funkcji / na zbiorze A' — E (co zapisujemy krócej /„ zt f na X - E).

mW < +^{00 1} ciąg {/n}n€M funkcji mierzalnych

. . -awje wszędzie do funkcji {, to dla. dowolnego e > 0 istnieje mierzalny zbiór E taki, że /„ dąży do f jednostajnie na E i /j(X - E) < s.

25