2 (6)

71

Zadania

22.    Niech X będzie zupełną przestrzenią metryczną, a G_n - ciągiem gęstych i otwartych podzbiorów X.

00

Udowodnić twierdzenie Baire'a, a mianowicie, że G_H nie jest zbiorem pustym. (W istocie jest on nawet gęsty w X.)

i

• pewnej przestrzeni R^k. Lżenia 3.22,3.23,3.25a), fcm odach są potrzebne

wzoru rekurencyjnego

Wskazówka. Skonstruować zstępujący ciąg otoczeń E„ taki, że E„ c. G„ i zastosować zadanie 21.

23.    Niech {p*} i {q_n} będą ciągami Cauchy ego w przestrzeni metrycznej X. Pokazać, że ciąg d{p_H, q_n) jest zbieżny.

Wskazówka. Dla dowolnych m i n

d(p_mq_H) < d{p_H, p_m)+d{p_m, q_m)+d{q_m, q„);

wynika stąd, że \d(p„, q_n)—d{p_mt q_m)\ jest małe przy dużych m i n.

24.    Niech X będzie przestrzenią metryczną.

a)    Dwa ciągi Cauchy’ego {p_n} i {q„} elementów X nazwiemy równoważnymi, jeżeli

lim d(p_m q_n) = 0.

Udowodnić, że jest to relacja równoważności.

b)    Niech X* oznacza zbiór tak otrzymanych klas równoważności. Dla P e X*_f Q e X*_f {p_n} e P, {q_H} e Q określmy

d(P, 0= lim d{p,„ q„).

n-*<O

Na mocy zadania 23 powyższa granica istnieje. Pokazać, że wartość A(P, Q) nie ulegnie zmianie, jeżeli ciągi {p„} i {q„} zastąpimy ciągami równoważnymi i że d(P, 0 określa metrykę w X*.

c aa prostotę formuły I x-_Ł = 2, pokazać, że

c)    Wykazać, że tak otrzymana przestrzeń metryczna X* jest zupełna.

d)    Dla każdego p e X rozważmy ciąg Cauchy’ego, którego wszystkie wyrazy są równe p. Niech P_p oznacza element X* zawierający ten ciąg. Udowodnić, że

MPpy P_q)= d(p, q)

dla dowolnych p, q e X. Mówiąc inaczej, odwzorowanie 95 określone wzorem ę(p) = P_p jest izometrią (tj. odwzorowaniem zachowującym odległości) z X do X*.

e)    Udowodnić, że <p(X) jest gęsty w X*> i że <p(X) = X* w przypadku kiedy X jest przestrzenią zupełną. Na mocy d) możemy identyfikować X z ę>(X), a więc traktować X jako zanurzoną w zupełną przestrzeń metryczną X*. Będziemy nazywać X* uzupełnieniem przestrzeni X.

25.    Niech X będzie przestrzenią metryczną, której elementami są liczby wymierne z metryką d(x, y) = |x- y\. Co jest uzupełnieniem tej przestrzeni ? (Porównaj zadanie 24.)

■ragrafie 2.44. a podciąg |p j jest

tstmych domkniętych