124841

Zadanie 10. Niech IT będzie przestrzenią wielomianów o współczynnikach rzeczywistych Na IT określamy odwzorowanie s IT x IT —* R wzorem

= <*d>0 +<*!&! +    +    ,    (1)

gdzie p(x) = ao+<»ix +    + a_nx" i q (ar) = 60 + 6ix + +6_mx^m Dowieść, ze

jest to iloczyn skalarny w przestrzeni n

Zadanie 11.* Niech X będzie przestrzenią wektorową nad etatem liczb zespolonych C Odwzorowanie s określone na X o wartościach w C nazywamy iloczynem skalarnym jeżeli spełnia warunki

•    Vx,y € X s(x,y) =s(y,x),

•    Vx,y,z e X Va, jJeC <(ox+ 3y,z) = as(x, z) +3a(y,z);

•    Vx € X s(x,x) > 0 ora.- s(x,x) = 0<=>x = 0

Niech xo, ,x„ będą różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech X = {/ {x_0>    ,x„} — C / - funkcja}

Pokazać, ze odwzorowanie

n

( , ) Xx X9(/,,)Uc    (2)

*=O

jest iloczynem skalarnym na .Y

Zadanie 12. Niech x* = dla k = 0, ,n Pokazać, ze funkcje e'^kx = cos/:x + isinA:x, dla k = 0, ,n

stanowią układ ortogonalny w sensie iloczynu skalarnego określonego wzorem

(2)

Zadanie 13.* Niech J([a,6)) oznacza przestrzeń rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale (a, 6] Pokazać, ze odwzorowanie (•, •)    C((a, 6]) x C([a, 6]) —* R

określone wzorem

(/.«) * f /(*)»(*)*:    (3)

jest iloczynem skalarnym na C((a,6))

Zadanie 14.* Pokazać, ze każdemu wektorowi x przestrzeni liniowej X wyposażonej w iloczyn skalarny odpowiada co najwyżej jeden wektor y (ozn Pyx) będący rzutem ortogonalnym wyjściowego wektora na zadaną podprzestrzeń y przestrzeni X

Zadanie 15. W przestrzeni R³ znaleźć rzut punktu (1,2,3) na płaszczyznę l x y-z =0

Zadanie 16.* Niech IT2 ([—1, l)) będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej 2 zawężonych do przedziału (-1, l] W przestrzeni tej określamy iloczyn skalarny wzorem (3) Znaleźć rzut wielomianu 2x² + 1 na podprzestrzeń

n,

Zadanie 17. Niech n„ będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej n W przestrzeni tej określamy iloczyn skalarny wzorem (1) Znaleźć rzut wielomianu x" na podprzestrzeń IT_m, dla m < n

2