5910202094

I. PRZESTRZENIE BANACHA

1.13. Przykład. Niech fł będzie przestrzenią topologiczną z nieujemną miarą borelowską p oraz S(Q,p) zbiorem wszystkich funkcji mierzalnych x : Q —> C, przy czym utożsamimy ze sobą funkcje równe p-prawie wszędzie. Zbiór ten z naturalnymi działaniami na funkcjach tworzy przestrzeń liniową.

Przez LP(Q.,iT), 1 < p < oo, oznaczymy podprzestrzeń przestrzeni S(Cl,p) złożoną z tych funkcji x, dla których całka \x(t)\^p dt jest skończona. Podobnie jak w przykładzie 1.8 dowodzimy, że funkcja

jest normą w LP(Q,p). Dowód zupełności przestrzeni L^l(Q,, p) został przedstawiony na stronie ??, zupełność pozostałych przestrzeni IP(Cl,p), 1 < p < oo, dowodzi się tak samo.

Oznaczmy ponadto przez L°°(Q,/j,) podprzestrzeń przestrzeni S(Q,p), złożoną z funkcji istotnie ograniczonych, tj. funkcji x, dla których wielkość

|*(0

inf sup

„(AM

jest skończona. Wielkość tą oznaczany esssup^fj |a;(i)| lub ||x||oo i nazywamy supremum istotnym funkcji x. Funkcja || ||oo jest normą a L°°(Q,p) w tej normie przestrzenią zupełną.

Utworzyliśmy w ten sposób całą nową klasę przykładów przestrzeni Banacha, uogólniających przestrzenie SP, 1 < p < oo.

Jako modelu przestrzeni (Q,p) będziemy używać na ogól prostej rzeczywistej M lub przedziałów (a, b) z miarą Lebesgue’a, płaszczyzny zespolonej C z miarą płaską Lebesgue’a bądź zbioru liczb naturalnych N z miarą „liczącą”, dla której miara zbioru jest jego licznością. Pisanie symbolu (Q, p) ma ustrzec przed uciążliwym rozpatrywaniem przypadków oraz wykorzystywaniem dodatkowych własności konkretnych przestrzeni, np. zwartości przestrzeni czy skończoności miary.

1.14. Przykład. Niech T będzie dowolnym zbiorem niepustym. Zbiór B(T) wszystkich funkcji ograniczonych x : T —*■ C jest przestrzenią Banacha w normie IM|co = sup_t€r|i(t)|.

Gdy za T przyjmiemy zbiór liczb naturalnych N, to przestrzeń B(T) stanie się identyczna z wcześniej wprowadzoną przestrzenią b ciągów ograniczonych.

1.15. Przykład. Niech S będzie przestrzenią topologiczną. Oznaczmy przez C(S) podprzestrzeń przestrzeni B(S) złożoną z wszystkich funkcji ciągłych. Jest