4531591939

Twierdzenie 7. [10, Twierdzenie 8.1.4]

Niech (fl, A, p) będzie zupełną a - skończoną przestrzenią mierzalną, (X, d) - zupełną, ośrodkową przestrzenią metryczną oraz F : f2 —> 2^X - odwzorowaniem o niepustych, domkniętych wartościach w X. Wówczas następujące warunki są równoważne:

a)    F - mierzalna (przeciwobraz zbioru otwartego jest mierzalny)

b)    Graph(F) € A® B (B - o—ciało borelowskie w X)

c)    F~^l(C) € A dla każdego C - domkniętego podzbioru X

d)    F~¹(B) £ A dla każdego B - borelowskiego podzbioru X

e)    hh► d(x, F(uj)) - mierzalne jako odwzorowanie (fł, A) —> R

f)    Istnieje ciąg mierzalnych selekcji {/n}^=i z F takich, że V_wen.F(a>) — U,₍>i {/n(^)} Dowód.

a—> f Niech    - gęsty przeliczalny podzbiór X. Zdefiniujmy dla n, k > 1 odwzorowania

J F(lj) fi B(x_n, £), jeśli jest to zbiór niepusty I*Txk\p^) — 1

[F(w) w przeciwnym przypadku

F_nk(u) = G_nk(u>).

Jako że F jest mierzalna, to G_nk i F_nk też, bo F~£(Q) — G~[(0) = F~¹(Or\B(x_n, ^))U (F^-1(0) n (n\F~¹(B{x_n, i)))). Z każdego F_nk na mocy twierdzenia 6 można wybrać selekcję f_nk i nietrudno zauważyć, że {/_nfc(<*>)} jest gęsty w F(u>).

f—► e Jeśli {/„} - ciąg mierzalnych selekcji, town d(x,f_n(oj)) jest mierzalna na mocy lematu 4 (x jest ustalone a zależność od u jest trywialna). Więc u i—► d(x,F{u)) = inf_nd(:c,/_n(u;)) też jest mierzalna jako infimum przeliczalnie wielu mierzalnych.

e—> a Wynika to z faktu, iż w ośrodkowej przestrzeni zbiory otwarte są przeliczalnymi sumami kul, których przeciwobrazy są mierzalne z założenia e.

d —> c Oczywiste.

—* a Jeśli O - otwarty podzbiór X, to F^-1(0) = U^=i F^-1({z £ X\d(x,X\0) > £}).

—» b Graph(F) = {(w,x) : d(x, F(lu)) = 0}. Jest on więc przeciwobrazem zera przy funkcji (u>, x) <-* d(x, F(u>)), która z lematu 5 i założenia jest mierzalna względem A <8> B.

• —► d Jeśli Graph(F) £ A ® B, to F~¹(B) jest rzutem zbioru Graph(F) fi (fi x B) £ .4® B na zupełny o - skończony czynnik. Z lematu 6 obraz jest mierzalny.    □

Założenia powyższej charakteryzacji można nieco osłabić, jeśli dziedzina ma pewną szczególną strukturę produktową z jednym czynnikiem równym Rⁿ, gdzie domknięte zbiory są przeliczalną sumą zwartych.

Twierdzenie 8. [9, Twierdzenie 1.3] (X,T,p) - zupełna a-skończona przestrzeń mierzalna. Niech F : X —> 2^R"^xRm ma domknięte niepuste wartości. H : X x Rⁿ —» 2^Rm ma ten sam wykres, jednak inny podział zmiennych - £ £ H{x,r[) wtedy i tylko wtedy, gdy (ą, £) £ F(x). Wówczas równoważne są: