3582321154

strcna 1/8

PRZESTRZENIE METRYCZNE:

Niech x*0 i niech każdej parze elementówx,yex przyporządkowana będzie liczba rzeczywista g(x,y), taka że:

(1)    g(x,y)>0 oraz g(x,y)=0 o x=y

(2)    g(x,y) = g(y,x)

(3)    ze X, g(x,y) <g(x,z) + g(z,y)

Wtedy g(x,y) nazywamy odległością elementu x_ty; G- metryka w X, a para (x,y) -przestrzeń metryczna np. metryka Euklidesowa:

x=Rn X=(tl, t2, t3.....tn) Y=(sl, s2,.... sn) g(x,y)

75. Definicja i własności granicy ciągu, ciąg ograniczony, warunek Ca uchy³ ego, przestrzeń metryczna zupełna.

Dcf. granicy ciągu

_ne elementów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym X€ X jeżeli:

Vf > 03iW n> N:_XneK(x,e) n>nmn> N:S(_Xn,x)<e

Własności podstawowe ciągu :

1.    ciąg nie ma więcej niż jednej granicy

2.    jeśli ciąg jest od pewnego miejsca stały tzn.

3 rh^:n-a>Xn^{=C to} ciTg jest zbieżny do c

3.    jeśli w ciągu zbieżnym zamierać, dodać łub odjąć skończoną liczbę wyrazów to dąg pozostanie zbieżny do tej samej granicy.

4.    Podciąg nieskończony ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy (podciąg = dąg wyrwany).

5.    Ciąg (X„) jest zbieżny do wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg z niego wyrwany

zawiera podciąg zbieżny do    .

Def. ciągu ograniczonego :

Qąg nazywamy ograniczonym gdy istnieje kula K taka, że ^ £ K, J1= 1,2,3...

Ciąg zbieżny jest ograniczony Warunek Cauchy³cgn:

Xn elementów przestrzeni metrycznej x spełnia warunek Cauchyego (jest ciągiem Cauchyego) gdy dla:

> 03iWn?,n> N:ę(_Xm,_xJ<£

Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchyego.

Ve> 03JWn > N:ę(x_n, _Xo) < y

Ve>03MVn>M:f(_x.,_Xo)<|

JV₀=m ax(M,N)