2104510622

6

1. Przestrzenie wektorowe

Niech

ci =(1,0,0, - - - ,0)

e₂ =(0,1,0,... ,0) e_n =(0,0,0,... ,n)

Ciąg (ei, e₂,•• • , e_n) jest bazą w Rⁿ.

STWIERDZENIE 1.12. Zbiór {v\,... ,Vkj jest bazą jeżeli jest liniowo niezależny i    n}) = V

DOWÓD: Niech (vi,u₂, • • • ,v_n) bedzie bazą przestrzeni V. Wektory bazy rozpinają całą przestrzeń, więc sprawdzamy, czy jest liniowo niezależny. Niech teraz

0 = A¹^! H----+ Xⁿv_n = prv\ H----+ pⁿv_n,

ale

0 • V\ +----h 0 • v_n = 0.

Z jednoznaczności rozkładu wektora zerowego mamy

A¹ = 0, ...,A" = 0.

Warto tu zwrócić uwagę na to, że baza jest maksymalnym układem liniowo niezależnym, tzn. dołożnie choć jednego wektora robi z niego układ liniowo zależny.

TWIERDZENIE 1.13. Jeśli przestrzeń wektorowa V posiada bazę n-elementową i S = {tai,..., Wk}, przy czym k > n, to układ wektorów S jest liniowo zależny.

Wnioski:

(1)    Jeżeli (vi,..., v_n) jest bazą i układ wektorów {wi,... ,Wk} jest liniowo niezależny, to k < n.

(2)    Jeżeli (ui,..., v_n) i (wi,..., w_m) są bazami w V, to m = n.

TWIERDZENIE 1.14. Każda, różna od zera (tzn zawierająca co najmniej jeden wektor niezerowy) przestrzeń skończenie wymiarową posiada bazę. Dla ustalonej przestrzeni wektorowej V liczba elementów bazy jest taka sama dla każdej bazy.