2659241297

Twierdzenie 1.6 £^d jest przestrzenią metryczną zupełną.⁴

Definicja 1.2 Niech a, b 6 R^rf. Odcinkiem domkniętym o końcach aib nazywamy zbiór {xeR^rf:x = (l-«)-a + «-bAte [0,1]}

i oznaczamy go [a,b]. Analogicznie definiujemy odcinek otwarty ]a,b[ (wtedy t e]0,1[,) i odcinki jednostronnie otwarte. Uwaga 1.10 Zauważmy, że w przeciwieństwie do £^l mamy dla odcinka domkniętego i otwartego równości [a,b] = [b,a] onu ]a,b[=]b,a[.

Twierdzenie 1.7 (Bolzano-Weierstrassa) Odcinek [a,b], gdzie jest ciągowo zwarty w £^d.

Uwaga 1.11 Zauważmy, że odcinek otwarty w £^d nie jest zbiorem otwartym w £^d, o ile d> 1.

Twierdzenie 1.8 Niech K C R^d. Na £^d następujące warunki są równoważne

K ciągowo zwarty w £^d\    (1.18)

K domknięty w £^d i ograniczony;    (1-19)

Każdy nieskończony podzbiór K ma punkt skupienia należący do K.    (1.20)