img041

41

gdzie & e , y eZj (i»l,2) jest przestrzeni? metrycznę.

3.3.    Pokazać, że przestrzeń E_n (zobacz przykład 2, str.iO) Jest przestrzeni? zupełnę.

3.4.    Pokazać, że wektory e . (0,...,0,1,0.....0) £ R^hT i - 1.....n

(Jedynka znajduje się na i. miejscu) tworzę bazę przestrzeni Eⁿ.

Zadania

3.1.    W przestrzeni zupełnej E¹ wskazać cięg zetępujęcy kul otwartych, których przecięcie Jest zbiorem pustym.

3.2.    Niech (Z,d) będzie przestrzeni? metrycznę i niech Z\M będzie zbiorem zawierajęcym tylko skończorię ilość elementów. Pokazać, że jeśli (M,d) Jest przestrzeni? zupełnę, to (Z,d) jest również przestrzeni? zupełnę•

3.3.    Czy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R z metrykę ę (zobacz wzór (2.2)) jest przestrzeni? zupełnę?

3.4.    Sprawdzić, że jeśli wektory $,...,x s? liniowo niezależne, to każdy podzbiór zbioru X - |i,...,x^ jest też układem wektorów liniowo niezależnych.

3.5.    Zbadać, czy wektory 5 ■ (2,-i), § - (1.3) s? liniowo nleze-

2

leżne w przestrzeni E .

3.6.    Sprawdzić, czy z liniowej niezależności wektorów x,...,xcRⁿ wynika liniowa niezależność wektorów y«x+...*x (i*l,...,n).

3.7.    Dowieść, że dowolny układ n + 1 wektorów zbioru Rⁿ jest liniowo zależny w przestrzeni Eⁿ,

3.8.    Uzasadnić następujęce własności iloczynu skalarnego: (x,x)>0,

(x,y) ■ (y.x), (<ć x ♦/*y. z) -    (x,z) */*(y»z). gdzie x. y, zeRⁿ,

R.

3.9.    Udowodnić, że (x,y)^ (x,x) .(y,y) dla dowolnych dwóch wektorów v i y ze zbioru Rⁿ.

3.10.    Wykazać, że w przestrzeni E^ mamy

0

lim m-» oo

lim mg" ■ 0, jeśli )q!<l m oo

lim i -*.oo

a

TT

• o