5020057329

CIĄGŁO ŚĆFUNKCJI POMIĘDZY PRZESTRZENIAMI METRYCZNYMI Definicja (Twierdzenie Hainego o ciągłości funkcji)

Dane sądwie przestrzenie metryczne (X,d), (Y,5) oraz funkcja f: X->Y. Funkcjętakąnazywamy ciągłąw xeX gdy dla dowolnego ciągu «

() =1 nnx elementów zbioru X

takiego, Śe (,)->0 nn-*«,dx zmówimy, Śe ((), ())->0 «*-»« 5fxfx . Mówimy,

Śe funkcja

jest ciągła z X w Y, gdy jest ciągła w kaŚdym punkcie x.

Twierdzenie (Cauchy’cgo)

Funkcja f:(X,d) -> (Y, 5) jest ciągła w punkcie x eX wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujący warunek:

Ve > 0 35 (x,e) > 0 Vye Xd(x, y) <5 (x, y)® d(f(x),f( y)) <s Definicja (kontrakcja)

Funkcjęf:X—>Y, gdzie X i Y sąprzestrzeniami metrycznymi z metrykami d i p nazywamy kontrakcją, gdy 3ke(ai??) Vx,ye X p(f(x), f(y)<Kd(x,y).

Definica

Funkcja ta nazywa sięfunkcjąkontrakcyjną, gdy Vx y e Xp(f(x),f(y))<d(x,y).

KaŚda kontrakcja jest funkcjąkontrakcyjną, ale nie kaśda funkcja kontrakcyjna jest kontrakcja.

Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Niech (X,d) będzie zupełnąprzestrzeniąmetryczną. JeŚeli funkcja T jest kontrakcjąz (X,d) w samąsiebie, to istnieje dokładnie jeden punkt xeX taki, ŚeTx=x (taki punkt x nazywa się punktem stałym dla odwzorowania T).

Dowód

Niech x,yeX. PoniewaŚT jest kontrakcją, to mamy d(Tx,Ty)<Kd(x,y).

UŚywając tej relacji mamy, Sed(Tu,T2y)<Kd(Tx,Ty)<K2d(x,y)

(T2x=T(Tx)=(T*T)(x)). Przez inkluzjęłatwo dostajemy dla Tn=T*T*... *T nierówność (#) d(Tnx, Tny)<Knd(x,y) \fx,yeX. Zbudujemy teraz ciąg iteracji zbieSny do punktu xo dobranego dowolnie w X. Niech xi=Txo, x2=T(xi)=T(Txo)-T2xo, ....

Xn+1=T(Xn)—T( TnX0)Tn+lX0.

PokaŚemy teraz, Se jest to ciąg Cauchy’ego. Stosując nierównośćtrójkąta mamy dla dowolnych neN i m=n+p, gdzie peNi d(xn,xm)<d(xn,xn+i)+d(xn+ijcn+i)+... +d(x_n+p-i,xn+p) = d(Tnxo, Tnxi)+ d(Tn+txo, Tn+m)+... + d(Tn+p-łxo, Tn+p-ixi). StąduŚywając nierówności (#) dostajemy: d(xn,xm)<Kn(xa,xi)+ Kn+i(xo,xi)+...+ Kn+p-l(xO,Xl)=[Kn, Kn+l, Kn+p-i)d(xO,xl)= Lid(xa,xi). Obliczamy teraz Ln. mamy Ln- Kn, Kn+i,    Kn+p-i/K

LtK= Kn+i, Kn+2, ..., Kn+p-i+ Kn+p. Odejmując te równości stronami dostajemy Ln( 1-K)- Kn-Kn+p

nn

P

P

nnpn

nK

K

K

K

K

K

K

K

K

KK

L