39736

ZBIORY SPÓJNE W PRRZESTRŻENIACH METRYCZNYCH Definicja

Zbiór A nazywamy spójnym w przestrzeni metrycznej (X.d). gdy nie istniejądwa otwarte zbiory B. C takie. Śe AnB^O i AnC=£0 oraz AeBuC.

Twierdzenie

Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X,d) jest spójny wtedy i tylko wtedy gdy speliua on warunek:

\/B,CczX takich. Śe/J^O, C=£0, B^jC=A oraz Br\C-0 mamy. ScB r\C ^OvB nC * 0 Twierdzenie

Podzbiór A zbioru R jest spójny w^r przestrzeni metrycznej (R,di) wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukły, tzn. jest przedziałem o długości zerowej lub dodatniej, (chodzi o wszystkie przedziały <singleony, przedziały dodatniej długości, domknięte, otwarte, półotwarte, ograniczone, nieograniczony>)

Uwaga

JuSw 2-wymiarowej przestrzeni (Ri.dr) istniejązbiory spójne niewypukle. CHARAKTTERYZACJA ZBIORÓW SPÓJNYCH W PRZESTRZENIACH LINIOWYCH METRYCZNYCH Z ME H RYKAMI GENEROWANYMI PRZEZ NORMY.

Twierdzenie

W przestrzeniach liniowych metrycznych (X.d) generowanych przez normy, zbiór A jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójny, tzn. dowolne dw a punkty x,ye A dają siępołączyćliniąlamanąleŚącąw zbiorze A.

Uwaga

Linia łamana jest suma stycznych ze sobą(nicnachodzących na siebie) odcinków'. Dla definiowania odcinka w X potrzebne było zaloŚenie. Śe X ma strukturęliniową. JeŚeli X jest przcstrzcniąliniowąi dodawanie (czyli dzialaiue przy którym X jest grupa abelow^rą, które jest działaruem wewnętrznym) oznaczone jest symbolem 0,

zaśmnoŚenie przez skalary przez 0 to dla dowolnych x,y€ X przez odcinek [x,y] o końcach x,y rozumiemy następujący podzbiór X.

[x,yj = / a®. v ® (7 - a )©y: ae [OJ] J I uu nl/i nic <znaczenie zbiorów spójnych>

JeŚeli w przestrzeni metrycznej (X,d) mamy zbiór spójny A i mamy funkcjęciągląf:A-»R. to Va.be A i dla dowolnej liczby C leŚącej pomiędzy f(a) i f(b) istnieje ze A takie, Śe f(z)=c. Innymi słowy fiuikcje o wartościach rzeczywistych ciągłe określone na zbiorze spójnym w przestrzeni metrycznej (X.d) mająwlasnośćDarboux.