1 (35)

ty. Zbiór wszystkich liczb

hkz, że

Zbiory spójne

41

kc być oddzielone. Dla przykładu przedział domknięty <0,1) i przedział otwarty (1,2) nie

Bartdztelone, bo 1 jest punktem skupienia zbioru (1, 2). Natomiast zbiory (0,1) i (1, 2) są

dał (|, f) i niech E_x będzie    247. TWIERDZENIE. Podzbiór E prostej rzeczywistej R¹ jest spójny wtedy i tylko wtedy,

posiada następującą własność. Jeżeli xeE,yeEix < z < y, to ze E.

K Dowód. Jeżeli istnieją x e JE, y e E i z e (x, y) takie, że z # E, to E = A_zuB_:, gdzie

będzie sumą przedziałów

A_z = £n(— oo, z), E_z = £n(z, oo).

takich, że

r P jest zwarty i z twier-

i P. Znaczy to, że P nie ra przedział postaci (24),

wiera punktów izolowa-, — odcinek zawierający odcinka 1„ dla którego c skupienia zbioru P i P

jest, że zbiór ten jest zostanie wprowadzone

rtry cznej X są oddzielo-i A nie leży w domknię-

tlonych.

t zbiory rozłączne nie

llMceważ xe A_ziye B„ więc zbiory A i B są niepuste. Ponieważ A_z c: (— co, z) i B_z cz (z, co), Be są one oddzielone. Zatem E nie jest spójny.

Aby wykazać implikację odwrotną, przypuśćmy, że £ nie jest spójny. Istnieją wtedy

Hfsste oddzielone zbiory A i B takie, że AuB = £. Wybierzmy x e A, y e B i załóżmy (bez Hnry ogólności) że x < y. Określmy

z = sup(>4n[x, y]).

■bmocy twierdzenia 2.28 ze A. Zatem z$B. W szczególności x < z < y. Jeżeli z$A,iez$B, kobee tego istnieje z₂ taki, że z < z_t < y oraz z_x # B. Wtedy x < z_x < y i z_y $ E.

Zadania

L Udowodnić, że zbiór pus ty jest podzbiorem dowolnego zbioru.

2. Liczba zespolona z nazywa się algebraiczną, jeżeli istnieją liczby całkowite a₀,..., a„ nie wszystkie równe 0,

a₀z"+a₁z"-¹+...+a._iZ+fl„ = 0.

Wwodnić, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny.

Wskazówka. Dla dowolnej liczby naturalnej N istnieje tylko skończona ilość równań, dla których

n+|a₀|+|aj|+...+ |aJ = N.

1 Udowodnić, że istnieją liczby rzeczywiste, które nie są algebraiczne. 4. Czy zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest przeliczalny?

5.    Skonstruować ograniczony zbiór liczb rzeczywistych posiadający dokładnie trzy punkty skupienia.

6.    Niech £' oznacza zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru £. Wykazać, że £' jest domknięty oraz że £ i £ posiadają te same punkty skupienia. (Przypominamy, że £ = £u£'.) Czy £ i £' zawsze posiadają ten sam zbiór punktów skupienia?

7.    Niech A,, A₂, /t₃,... będą podzbiorami przestrzeni metrycznej, a) Niech B„ = (J A,. Udowodnić, że B„ •= (J A_t dla n = 1,2,3,

b) Niech B = U A_t. Udowodnić, że B => U A_it

Pokazać na przykładzie, że inkluzja może być właściwa.

& Czy każdy punkt dowolnego zbioru otwartego £ c R^J jest jego punktem skupienia? Odpowiedz na to samo

pytanie dla domkniętych podzbiorów R¹.

9. Niech £° oznacza zbiór punktów wewnętrznych zbioru E (por. definicję 2.18e; £° jest nazywany wnętrzem £).