39730

PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE I NIEZUPEŁNE Definicja

Przestrzeńmetryczną(X,d) nazywamy zupełną, gdy kaSdy ciąg Cauchy’ ego jest zbieSny do pewnego elementu tej przestrzeni.

Definicja

Przestrzenie, które nie sązupelne nazywamy niezupełnymi.

CHARAKTERYZACJA ZBIORÓW DOMKNIĘTYCH W PRZESTRZENIACH

METRYCZNYCH

Twierdzenie

Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X,d) jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy z tego. Se

Q9

() =i ma jest ciągiem elementów zbioru A, X€ X: (,)->0 _n»-+*>d x awynika. Sexe A.

Definicja (operacja domknięcia)

Domknięcie zbioru Ae2x przestr zeni metrycznej (X,d) jest to przekrój wszystkich zbiorów domkniętych zawierający zbiór A.

Definicja (punkty skupienia)

Niech (X.d) będzie przestrzeniąmetrycznąi niech AeX. Punkt xeX nazywamy punktem skupienia zbioru A. gdy istnieje ciąg « i ()nnx elementów zbioru taki, SeVneNxa^x ponadto

X X* *-> -*«

Definicja (punkty izolowane)

Punkty zbioru A, które me sąpunktami skupienia, nazywamy punktami izolowanymi.

Stwierdzenie

Przez Ad oznaczymy zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A.

Twierdzenie

Z charakteryzacji zbiorów domkniętych mówiącej. Śe zbiór AcX jest domknięty w przestrzeni metrycznej (X,d) wtedy i tylko wtedy, gdy kaSda granica wq metryki d ciągu elementów zbioru A naleŚy do zbionr A, mówimy, Śe AjcA wtedy i tylko wtedy gdy A jest domknięty.

Zatem z tej charakteryzacji wynika następująca charakteryzacja operacji domknięcia

Twierdzenie VAc2 xA =AuAa

Definicja (wnętrze zbioru) {intuicyjna definicja}

Wnętrze zbioru jest to największy zbiór otwarty zawarty w zbiorze A

Twierdzenie (wnętrze zbioru)

W dowolnej przestrzeni metrycznej (X.d) i dowolnego zbioru AcX wnętrze {Int(A)} zbioru A jest równe sumie wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A Definicja (brzeg zbioru) {intuicyjna}

T(A) = A \łnt(A)

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej (X,d) dla dowolnego zbioru AcX mamy równość f (A) = An(X\A)