27895

snaia 2/8

Przestrzeń metrycza zupełna

Przestrzeń metiyczną X nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy’ego jej elementów jest zbieżny do pewnego jej elementu.

77. Własności ciągów zbieżnych, twierdzenie o średnich arytmetycznych, tw ierdzenie o średnich geometrycznych.

Własności ciągów zbieżnych:

1. Jeśli ciąg (Q_n) jest ograniczony i () zbieżny do 0 ^to ( Q _n ) *( Jj_n ) jest zbieżny do 0.

2. Jeśli ciągi ( q ),( Jj_n) są zbieżne (mają granicę) oraz istnieje ₀ ' Q ~ b ’ ^ " No

3. Jeśli ciągi ( Q_n ),(    ) są zbieżne to zbieżne są ciągi (Q_n l)_n ).( Q_n b_n Qn *

_n ) oraz (c* _n ) c=const ponadto:

¹'^m(_a,,±b,,) = ^lima,^±limb„ Ma/b,,)^=lima,,^,|imb, Mc*b) = c^,tonbn

Jeśli ponadto założymy, że

limb n ^ ^to ciąg(^^) jest zbieżny.

L

Twierdzenie o średnich arytmetycznych

n

Tw. o średnich geometrycznych

82. Kryteria zbieżności szeregów.

1. Porównawcze