teoria2 2

Przestrzenią wektorową nazywamy strukturę: (V ,+, (R, +, *), *) + : V+V -> V *: R*V -> V

(V, +) - grupa abelowa // jeśli działanie ( o ) jest:

•    Wewnętrzne: A o A -> A

•    Przemienne: a o b = b o a

•    Łączne: (a o b) o c = a o(b o c)

•    Istnieje element neutralny: aoe = eoa = a

•    Istnieje element symetryczny: aoa' = a'oa = e a * (x + y) = a * x + a * y, x,y e V, a eR

(a+p)*x = a*x + p*x, a,PeR, xeV (a*p)*x = a*(P*x), , a,peR, xeV

1 * x = x , xeV    B,'

U jest podprzestrzenią V o OveU oraz a*Ui + p*u₂eU dla Ui, u₂eU a,peR

Liniowa niezależność wektorów: v₁₍v₂eV :a*vi+p*v₂=0v i a,p = 0 - kombinacja trywialna

Liniową powłoką zbioru wektorów B nazywamy zbiór wszystkich wektorów będących liniową kombinacją wektorów zbioru B. Oznaczenie lin B. (aby dana baza generowała przestrzeń V, to ilość wektorów w bazie musi być równa wymiarowi V (dim V), oraz te wektory muszą być niezależne liniowo)

Reper bazowy - uporządkowana baza

Skalary Oi, a₂₍...,a_n nazywamy współrzędnymi wektora względem repera bazowego B; veV, v=[a_1/a₂,...,a_n]B

f - monomorfizm o gdy Kerf= {0v> lub dim Kerf = 0, bo baza nie istnieje f - epimorfizm o gdy Imf = Rⁿ (zapas) dim Kerf + dim Imf = dim Rⁿ (dziedzina) f - izomorfizm - epimorfizm + monomorfizm (det Mf(B!,B₂)*0)

Kerf = {(x_lłx₂,...,x_n) eRⁿ : f(x₁,x_2ł...x_n)=(0,0,...,0)>

Imf = {(przepis na odwzorowanie); x_1/x₂,...,x_neR>

Mf(Bi,B₂) - macierz o n kolumnach (dim dziedziny) i m wierszach (dim zapasu), taka, że i-tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne obrazu poprzez f, i-tego wektora bazy Bi względem bazy B₂ (współrzędne obrazów kolejnych wektorów z bazy Bi względem bazy B₂ są kolejnymi kolumnami macierzy Mf)

Mnożąc macierz przejścia P(B!->B₂) przez kolumną współrzędnych wektora względem starej bazy (B_a) otrzymuje się współrzędne tego wektora względem nowej bazy (B₂)    ę. U,->V y. \j Z

Złożenie odwzorowań :    ^a.    ^

*    M_f+g (B_lfB₂) = MfCB^B.j+MgCB^B,)

*    M_fog (B_1/B₃)= ^[B_A/B₃)*Mf(B₁,B₂)

Odwzorowanie liniowe - dla u_x,u₂eU; a,3eR f(au₁+pu₂)=a*f(u₁)+p*f(u₂)

Macierz przejścia od bazy B_x do bazy B₂ nazywamy macierz kwadratową stopnia n, oznaczaną

P(B_x->B₂), taką, że i-tą kolumną tej macierzy tworzą współrzędne i-tego wiersza wektora bazy B₂ wzglądem B_x. (współrzędne wektorów nowej bazy (B₂) względem starej (B_x) stanowią kolejne kolumny tej macierzy)

Związek pomiędzy macierzami odwzorowań w nowych bazach i starych bazach

f: U->V A

f-liniowe

(*' T)v.

Mnożąc macierz odwzorowania (Mf(B_x,B₂)) przez współrzędne wektora w bazie dziedziny (B_x), otrzymuje się współrzędne tego wektora względem bazy zapasu (B₂)

Diagonalizacja:

Xj - wartość własna

V| - wektor własny k| - krotność własna wartość własna f o det (A-X|)=0 wektor własny o Vk., _=n ={v=fcl, (A-Xj)*

Macierz D - macierz diagonalna, która na przekątnej ma wartości własne

Macierz P - macierz, której kolumnami są wektory własne, ustawione w kolejności odpowiadającej kolejności ich wartości własnych t) ^Ł • A ‘ ?

Jeżeli krotność (kj) > 1, to tworząc macierz diagonalną wartości własne odpowiadające tej krotności ustawione są w sąsiednich kolumnach

Jeżeli ilość wektorów własnych jest równa ich krotności -> macierz jest diagonalizowalna    tran.* pon®    ■matie n

*    *    *    .    r ¹ _p-iT

->.■ t V.»iT - t, l 1