Picture2

3.2. (•rupu, ciało, przestrzeń wektorowa

Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A nazywamy zespól złożony z nicpustcgo zbioru A oraz. pewnej liczby działań wewnętrznych i zewnętrznych określonych w zbiorze A. W zależności od własności określonych działań i ich liczby wyróżniamy różne struktury algebraiczne. W niniejszym podrozdziale przedstawimy trzy z nich: grupę, ciało i przestrzeń wektorową.

DHinicju 3.4

Zbiór A z określonym w nim działaniem wewnętrznym jest grupą, gdy działanie to jest łączne, ma element neutralny i każdy element a e A ma element odwrotny.

I ormalnie zapisujemy to następująco:

(A, ) grupa <=>    1) A (a ° b) ° c = a ° (b ° c),

2)    V A a°e = e°a = a,

es A oeA

3)    A V a ° a' = a' ° a = e.

aeA u'eA

Jeżeli dodatkowo działanie wewnętrzne jest przemienne, tzn. zachodzi wa-i unek:

4)    A a ° b = b ° a,

a,heA

lo grupę (A, °) nazywamy przemienną lub abelową.

Delliiicja 3.5

Niepusty zbiór A z określonymi w nim dwoma działaniami wewnętrznymi „ i dla których elementy neutralne oznaczamy odpowiednio e₀, cq, nazywamy ciałem, gdy:

1⁰ (A, °) jest grupą przemienną,

2° (/l\{e₀}, □) jest grupą przemienną,

3° działanie „a” jest rozdzielne lewostronnie i prawostronnie względem działania „°”.

Punkt 2° i 3° definicji możemy zapisać inaczej:

2° a) A (a □ b) □ c = a □ (& □ c),

a./>.ce/t\|c j

b) V A e_n □ a = a □ e_n = a,

e_ae/l\je,i oe/ł\{c;..! ^{u    u}

c)    A V aa a' a'aa^me_r„

d)    A aah ha a.

a_tbeA\{t:, J

3° A a a (h ° c) = (a □ h) «(« □ c)

(i.h.ccA

(a ° h) □ c = (a a c) ° (h □ c)

Definicja 3.6

Niepusty zbiór V z określonymi w nim dwoma działaniami wewnętrznym „®” i zewnętrznym K x V-> V, gdzie (K, *>, □) jest ciałem, nazywamy />/ . .■ slrzenią wektorową lub liniową nad ciałem K, gdy:

I ° (V, ®) jest grupą przemienną,

2° A A (a * (x ey) = (a * *) ® (a * y),

a&K x,yeV

3° A A (a o h) * x = (a * x) © (b * x),

a,beK xeV

4° A A (aa b) * x = a * (b * x),

afcK xeV

5° A e„ * x = x.

xeV ^u

Elementy x,y e V nazywać będziemy wektorami. Najczęściej V l<", d/ia lanie wewnętrzne ® oznaczamy „+” i jest ono dodawaniem wektorów v < l<" y e R": x + y = (jci +y_t, x₂ + y₂,    + y„), działanie zewnętrzne oznaczamy

i jest to mnożenie wektora przez liczbę: a ■ x = (ax\, ax₂, .... ax„). Przestrzeli wektorową V nad ciałem K z działaniami „+” i zapisujemy (V, K, +, •) lub (R", R, +, ),gdy P=R",K=R.

Przykład 3.4

Niech A = R. W R określamy działanie wewnętrzne a ° b = a + h + 2. Sprawdzamy własności działania

1)    A a°b = a + b + 2 = b + a + 2 = b°a,

ci_yheR

zatem działanie jest przemienne.

2)    A (a ° b) ° c = a ° (b ° c)

a_yb_yce R

L-(a °b)°c-(a+ b +2) °c = a + b + 2+ c + 2 P = a°(b°c) = a°(b + c + 2) = a + b + c + 2 + 2 L = P,

zatem działanie jest łączne.