Untitled 23

66

I. Teoria granic

[36

nazywamy logarytmami naturalnymi i oznaczamy je znakiem ln bez wskazania podstawy. W badaniach teoretycznych posługujemy się wyłącznie logarytmami naturalnymi (¹).

Wspomnijmy, że zwykłe logarytmy dziesiętne związane są z logarytmami naturalnymi znanym wzorem:

logx = lnx*M,

gdzie M jest modułem przejścia, równym

M = loge =---= 0,434294... ;

ln 10

' wzór ten łatwo otrzymać, logarytmując przy podstawie 10 tożsamość

x = e

37. Przybliżone obliczenie liczby e. Powróćmy do równości (6). Jeżeli ustalimy k i przyjmując n>k, pominiemy wszystkie wyrazy dalsze za (k+ l)-szym, to otrzymamy nierówność

Przejdźmy teraz do granicy przy n-+co; ponieważ wszystkie nawiasy mają jako granicę 1, otrzymujemy

111

°²⁺2! ⁺ 3l⁺-tfcT^A-

Nierówność ta jest słuszna przy każdym k naturalnym. Tak więc mamy

x_n<y_n^e,

skąd widać (na podstawie twierdzenia 3°, 28), że również

lim y„ = e.

Zauważmy przy okazji, że y_n jest (n+ l)-szą sumą częściową dla szeregu nieskończonego [25, 9)] i napisany właśnie związek graniczny pokazuje, że e jest sumą tego szeregu; mówimy także, że liczba e rozwija się w ten szereg i piszemy

n !

1 ! 2!

t¹) Logarytmy te nazywają niekiedy logarytmami neperowskimi od nazwiska szkockiego matematyka J. Nepera (Napier, XVI - XVII w). Sam Neper nie znał pojęcia podstawy logarytmów (budując je po swojemu, na innej zasadzie), ale jego logarytmy odpowiadają logarytmom o podstawie bliskiej 1/e. Podstawę bliską e mają logarytmy współczesnego mu J. Burgiego.