Untitled 17

60

I. Teoria granic

[35

Aby znaleźć tę granicę, przejdźmy do granicy w napisanej powyżej równości; ponieważ x_n+ Ł z dokładnością do pierwszego wyrazu przyjmuje te same Wartości i w tej samej kolejności co ciąg {r„}, więc ma tę samą granicę a, i otrzymujemy

a —a-0,

skąd <z = 0, i

2)    Przyjmując znowu c>0 określamy teraz ciąg {x_n} następująco:

*1=\/^C>    X₂=y/c + y/Ć,    X₃ =\/ffVc + v'Ć’

i ogólnie

x_n=\jc-ry/c + ... + y/ć.

pierwiastków

Tak więc ar_{n + 1} otrzymujemy z x_n według wzoru

X„₊i=yJ^,C+X„.

Jasne jest, że ciąg x„ monotonicznie rośnie. Jednocześnie jest to ciąg ograniczony z góry, np. przez liczbę -y/c + 1. Rzeczywiście x_i = \/^/c jest mniejsze niż ta liczba; jeśli przyjąć teraz, że dowolna wartość x_n<*Jc + \, to i dla następnej wartości otrzymujemy

■*^:n + l'<V^c + >/^C"^l <\J C + 2 >/c + l =yj C~r\ .

Tak więc nasze twierdzenie o ograniczoności z góry ciągu {*„} sprawdza się metodą indukcji matematycznej.

Na podstawie twierdzenia o ciągu monofonicznym ciąg {*„} ma pewną granicę skończoną a. Aby ją określić przejdźmy do granicy w równości

*n+i =c+x_n;

otrzymujemy zatem, że a spełnia równanie kwadratowe

2

a =e + a.

Równanie to ma pierwiastki różnych znaków; ale interesująca nas granica a nie może być ujemna, a więc równa się pierwiastkowi dodatniemu

_v'4c + l+l

a =---

2

3)    Obierając dowolne x₀, 0<x_o<l, określmy ciąg {.v„} rekurencyjnie

*,:+ i=*_n(2-*„).

Zakładając, że 0<x„<l, co jest spełnione dla n = 0, stwierdzimy, że

^-1 •

Rzeczywiście, ponieważ 2—x„>\, więc x,_{1 +} .>x_n; ale x_n{2 —x_n) = l — (1 — x_n)², skąd x_{n + 1}<l. Tak więc pokazaliśmy przez indukcję, że ciąg {*,,} monotonicznie rośnie i jego wyrazy pozostają mniejsze od 1; wynika stąd, że rozważany ciąg ma skończoną granicę a^O. Przechodząc do granicy w związku reku-rencyjnym, znajdujemy, że a = 1. Tak więc, lim x_n = l.

Pozostawiamy czytelnikowi rozpoznanie, co zajdzie, jeżeli wziąć x₀ poza przedziałem (0, 1).