Untitled 25

Untitled 25



68


I. Teoria granic


[37


który służy za punkt wyjścia do obliczenia liczby e. Odrzucając ostatni dodatkowy wyraz, i zastępując każdy z pozostałych wyrazów jego przybliżeniem dziesiętnym, otrzymujemy przybliżoną wartość liczby e.

Postawmy sobie za zadanie obliczenie za pomocą wzoru (7) liczby e np. z dokładnością do 1/107. Przede wszystkim należy ustalić, jaką należy obrać liczbę n (którą dysponujemy), żeby otrzymać tę dokładność.

Obliczając kolejno liczby odwrotne do silni (por. podaną    2,00000000

tabliczkę), widzimy, że przy n—10 dodatkowy wyraz wzoru (7) jest już mniejszy niż    — = 0,50000000


9


9


<0,000 000 03


nln 10110

oraz że odrzucając go otrzymamy dokładność znacznie mniejszą niż postawione ograniczenie. Zatrzymajmy się nad tą wartością n. Każdy z pozostałych wyrazów zamieńmy na ułamek dziesiętny, zaokrąglając (ze względu na dokładność) na ósmym miejscu dziesiętnym, tak by dokładność co do wartości bezwzględnej była mniejsza niż połowa jedynki na ósmym miejscu, tj. mniejsza niż 1/2-108. Rezultaty umieściliśmy w tabliczce.

Obok liczby przybliżonej stawiamy znak (+ lub —), wskazujący na znak poprawki, którą należałoby dodać dla ustalenia liczby dokładnej.

Jak widzimy, poprawka na odrzucenie dodatkowego wyrazu jest mniejsza niż 3/108. Uwzględniając teraz jeszcze poprawki na zaokrąglenie (ze znakami) łatwo zauważyć, że sumaryczna poprawka do otrzymanego przybliżenia liczby leży pomiędzy

3    5

--= oraz -1--j. .

108    108

Zatem sama liczba e zawiera się pomiędzy ułamkami

2,71828178 i 2,71828186,


1

27

1

3!


= 0,16666667-


— = 0,04166667-4!


— = 0,008 333 33 + 5!


6!


= 0,001 388 89-


— =0,00019841 + 7!,


— =0,00002480 + 8 !


9!


=0,00000276-


— =0,00000028-10!

2,718281 81


czyli można przyjąć


e = 2,718281 8±0,0000001.


Zauważmy przy okazji, że wzór (7) może służyć także dla ustalenia niewymierności liczby e..

Rozumując przez sprowadzenie do niedorzeczności, spróbujmy przyjąć, że e jest liczbą wymierną postaci m/n; jeżeli wówczas właśnie dla tego n napiszemy wzór (7), to otrzymamy


m    i ł    1    9

n    1 ! 2!    n\ n\n


(O<0<1).



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
68 I. Teoria granic który służy za punkt wyjścia do obliczenia liczby e. Odrzucając ostatni dodatkow
68 I. Teoria granic który służy za punkt wyjścia do obliczenia liczby e. Odrzucając ostatni dodatkow
Untitled 15 58 I. Teoria granic [33 skąd otrzymujemy (por. przykład 2)) (*+ >* , lim — lim 2 n +-
Untitled 17 60 I. Teoria granic [35 Aby znaleźć tę granicę, przejdźmy do granicy w napisanej powyżej
Untitled 19 62 I. Teoria granic [35 5) Wychodząc znowu od dwóch liczb dodatnich a i b (a>b), utwó
Untitled 21 64 I. Teoria granic [35 Pozostaje pokazać, że a — a". W tym celu niech n dąży w (1)
Untitled 23 66 I. Teoria granic [36 nazywamy logarytmami naturalnymi i oznaczamy je znakiem ln bez w
Untitled 27 70 I. Teoria granic [38 Niech dany będzie ciąg przedziałów <ai,bl},^a2,b2y,
40 I. Teoria granic czyli ciąg s„ różni się od stałej liczby-wielkością a„ =-• q", która, jak
Untitled (25) "Wystawmy Niemcom rachunek 250,000 € za każdego zabitego Polaka:"To nie kara
rozdział 1 (25) 28 Podstawy marketingu ^Współczesne rozumienie marketingu przyjmuje za punkt wyjścia
str29201 djvu NAUKA Zapoznałem się, oczywiście, z poglądem Macha, który uznał za rzecz możliwą do p

więcej podobnych podstron