0039

40

I. Teoria granic

czyli ciąg s„ różni się od stałej liczby-wielkością a„ =-• q", która, jak to właśnie widzieliśmy,

\-q    1-ą

dąży do zera. W związku z tym, według drugiej definicji granicy, szukana suma postępu wynosi

a

i=limi,=-.

\-q

Tak więc liczba ta jest sumą nieskończonej ilości wyrazów postępu, co zapisujemy tak:

a

l-q.

a + aq + aq² + ... + aq" * +

8) Niech dane będą dwie liczby a i b. Połóżmy x₀ = a, x, —b, a pozostałe wartości wyrazów ciągu określmy równością

x„

X_n-2+X_n-i

2

Równość ta rzeczywiście określa ciąg, bo przyjmując tu n = 2,3,4,... można kolejno znaleźć wszystkie jego wyrazy.

Jeżeli od obu stron napisanej równości odjąć po    to otrzymujemy

x„-.v,,_i = —(n>2).

Tak więc, w równościach

x_l-x₀ = b-a,    x₂-x_t, ...,    x„-i— x„-₂, x_n-x,-i,

każda (poczynając od drugiej) powstaje z poprzedniej przez pomnożenie przez —i. Ponieważ suma n wyrazów jest x_n—a, więc, korzystając ze znanego (por. (7)) wzoru na sumę postępu, od razu otrzymujemy

lim(A-„-a)=

b—a

skąd już łatwo wywnioskować, że

limA„=a+j(ó—a)=^(a+2b).

9) Analogicznie do postępu geometrycznego można rozważyć dowolny ciąg liczb

Oi ><*2,03,..., a., ...

i dodając je kolejno, utworzyć sumy częściowe:

^i = fli,    j4₂ = iii+a2, A3 — CI1 +o₂ + 03,    ••■» A_n = a₂ +02 +... +u»,

Jeżeli przy przejściu do granicy A„ dąży do granicy A (skończonej lub nieskończonej), to liczbę tę nazywamy sumą wszystkich liczb a„ i piszemy

ai+a2 + ...+u,t + ...='4.

Symbol po lewej stronie tej równości nazywamy szeregiem nieskończonym, a liczbę A sumą szeregu. O szeregu mającym sumę skończoną mówimy, że jest zbieżny.

Niech dla przykładu dany będzie szereg

¹ , ¹ , ¹ , ¹

T^T2 ⁺ 2^T3 ⁺ 3^T4 ⁺ "‘ ⁺ *(« + l) ⁺ "'