Untitled 21

64

I. Teoria granic

[35

Pozostaje pokazać, że a'— a". W tym celu niech n dąży w (1) do nieskończoności, najpierw przez wartości parzyste, a następnie przez nieparzyste. Otrzymujemy w granicy dwa związki

Odejmując je stronami rugujemy c:

(a' — a”)(a' + a"+2)=0 .

Jak za chwilę ustalimy, przy c> —3 drugi nawias nie może się równać zeru, czyli musi być a' = a". Rzeczywiście, w przeciwnym przypadku, podstawiając a" — —a'— 2 w drugi ze związków (5) otrzymalibyśmy dla a' równanie kwadratowe

a' -r2a' + (4 + c)—0,

które właśnie przy c> — 3 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Poza tym przy c=— 3 drugi nawias przyjmuje wartość 0 równocześnie z pierwszym, bo w tym przypadku a'= — 1 i a"— — 1.

Tak więc we wszystkich przypadkach a' = a". Oznaczając wspólną wartość tych granic przez a, mamy na u wyrażenie (3), oczywiście ze znakiem minus przy pierwiastku, bo granica ujemnego ciągu {.r„} nie może być dodatnia.

Podane przykłady prowadzą do następującej uwagi. Udowodnione twierdzenie jest typowym twierdzeniem o istnieniu: ustala się w nim fakt istnienia granicy, ale nie daje się żadnej metody obliczenia granicy. Niemniej omawiane twierdzenie ma ważne znaczenie. Z jednej, strony w zagadnieniach teoretycznych często tylko istnienie granicy jest potrzebne, z drugiej st ony, w wielu przypadkach możliwość poprzedniego przekonania się o istnieniu granicy jest dlatego ważna, że podaje sposób faktycznego obliczenia granicy. Tak np. w przykładach 1). 2), 3), 5), 6) właśnie wiedza o istnieniu granicy pozwoliła przez przejście do granicy w pewnych rówmościach ustalić dokładną wartość granicy.

W tym sensie jest szczególnie pouczający przykład 6) b). Chociaż przy c<—3 wyrażenie (3) pozostaje sensownie, to nie wwnika stąd w ogółe, że nadal określa ono granicę ciągu {x„}; przeciwnie, granica ta wtedy nie istnieje; łatwo np. sprawdzić, że przy c— —4 ciąg przybiera wartości:

-2, 0, -2, 0, -2, 0, ...

i nie ma granicy.

W przykładzie 4) nie mamy w'zoru na granicę, ale wiedząc, że ta granica istnieje, możemy łatwo obliczyć ją z dowolnym stopniem dokładności, bowiem zawiera się ona pomiędzy ciągami {a_n} i {b_n}, które dążą do granicy z obu stron.

W następnym ustępie zaznajomimy się z jeszcze jednym ważnym przykładem zastosowania twierdzenia o ciągu monotonicznym.

- 36. Liczba e. Wykorzystamy tu przejście do granicy dla określenia nowej nie spotykanej dotychczas przez nas liczby.

Rozważmy ciąg

(    ¹V

i spróbujmy zastosować do niego twierdzenie ustępu 34.

Ponieważ ze wzrostem wykładnika n podstawa potęgi tutaj maleje, więc bezpośrednio nie widać monotoniczności ciągu. Aby się o niej przekonać, przejdźmy do rozwinięcia na dwumian Newtona: