0043

44

I. Teoria granic

Jeżeli wartości bezwzględne wyrazów ciągu {x„} dążą do nieskończoności, to odwrotności jego wyrazów a„ = 1 /x_n dążą do zera.

Weźmy dowolną liczbę £>0. Ponieważ |x„|-»+oo, więc istnieje dla liczby £=1/6 wskaźnik N taki, że

! I ¹

> — , jeżeli tylko n>N . s

Wówczas dla tych samych n jest oczywiście co dowodzi naszego twierdzenia.

Zauważmy jeszcze, że jeżeli wartości bezwzględne wyrazów ciągu {*„} dążą do nie skończoności, to sam ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyrazy mają stały znak począwszy od pewnego wskaźnika. Przy wyrazach dodatnich granicą jest +oo, przy wyrazach ujemnych granicą jest — oo.

Analogicznie można udowodnić twierdzenie odwrotne:

Jeżeli ciąg {x„} (o wyrazach różnych od zera) dąży do zera, to ciąg odwrotności tych wyrazów dąży bezwzględnie do +oo.

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

28. Przejście do granicy w równości i w nierówności. Łącząc dwa ciągi {*„} i {y„} znakami równości lub nierówności rozumiemy zawsze, że chodzi o odpowiednie wartości, tj.

0    wyrazy o zgodnym wskaźniku.

1° Jeżeli dwa ciągi {x_n} i {y_n} są równe, tj. jeżeli x„=y_n, przy czym jeden z nich ma skończoną granicę, to drugi też ma skończoną granicę

lim x_n = a ,    lim y„ = b ,

1    granice te są równe, a — b.

Uwaga ta wynika bezpośrednio z jednoznaczności granicy [26, 5°].

Twierdzeniem tym posługujemy się zwykle przechodząc do granicy w równości, z x_n=y_n wnioskujemy, że lim x_n = lim y„.

2° Jeżeli dwa ciągi {x„}, {y„} spełniają zawsze nierówność x_n^y„, przy czym każdy z nich ma granicę skończoną:

lim x„ = a ,    lim y_n = b ,

to i a^b.

Przypuśćmy tezę przeciwną, niech a<b. Rozumując tak jak w ustępie 26, 5° weźmy liczbę r pomiędzy a i b, tak że a <r<b. Wówczas z jednej strony znajdziemy taki wskaźnik N', że dla n>N' jest x_n<r, a z drugiej strony znajdziemy taki wskaźnik N", że dla n>N" jest y_n>r. Jeżeli A jest większe niż N' i N", to dla wskaźników n>N spełnione są jednocześnie obie nierówności

x_H<r, y„>r, skąd x„<y_n,

co przeczy założeniu. Obalenie przypuszczenia potwierdza twierdzenie.