Untitled 27

70

I. Teoria granic

[38

Niech dany będzie ciąg przedziałów

<a_i,b_l},^a₂,b₂y,    b_B>, ...

z których każdy następny zawiera się w poprzednim — jak mówimy, ciąg przedziałów zstępujących — przy czym długości tych przedziałów dążą do 0 wraz z «->oo:

lim(6„ —a_B)=0.

Wówczas końce a_n i b_n przedziałów (z różnych stroń) dążą do wspólnej granicy

c=lima„ = lim b_n ,

tj. do jedynego punktu wspólnego wszystkich przedziałów.

Jest to tylko inne sformułowanie udowodnionego powyżej twierdzenia; zgodnie z warunkiem

a„^a_n+i<b_n+1^b_n,

czyli lewy koniec a_n i prawy koniec b_n n-tego przedziału grają tu rolę ciągów monotonicz-nych {x_n} i {y„}.

Ponieważ a_n dąży do c rosnąc-, a b_n — malejąc, więc

a_n^c^b_n (« = 1,2,3,...),

tj. punkt c rzeczywiście należy do wszystkich rozważanych przedziałów. Drugiego punktu c', różnego od punktu c, ale o powyższej własności być nie może, bo inaczej mielibyśmy

b„ — On^lc —c\>0,

i długość n-tego przedziału nie mogłaby dążyć do zera.

W dalszym ciągu będziemy się nieraz opierali na tym lemacie, który nosi nazwę lematu o przedziałach zstępujących.

§ 4. Kryterium zbieżności. Punkty skupienia

39. Zasada zbieżności. Niech dany będzie ciąg {jc„} o wartościach (1)    x_ltx₂,    ...

Zajmijmy się teraz ogólnym kryterium istnienia skończonej granicy dla tego ciągu. Sama definicja granicy temu celowi służyć nie może, bo występuje w niej już granica, o istnienie której pytamy. Potrzebujemy kryterium korzystającego tylko z tego, co wiemy, a mianowicie z ciągu (1) wartości x_n.

Postawione zagadnienie rozwiązuje następujące ważne twierdzenie należące do czeskiego matematyka B. Bolzano i francuskiego matematyka A. L. Cauchy’ego; nazywamy je kryterium zbieżności.