0069

70

I. Teoria granic

Niech demy będzie ciąg przedziałów

<«!, b,>,(a₂,b₂},..., <a„, b„>, ...

z których każdy następny zawiera się w poprzednim — jak mówimy, ciąg przedziałów zstępujących — przy czym długości tych przedziałów dążą do 0 wraz z n-*co:

lim(i>„—a_n)=0.

Wówczas końce a„ i b„ przedziałów (z różnych stron) dążą do wspólnej granicy

c = lim a„ = lim b„,

tj. do jedynego punktu wspólnego wszystkich przedziałów.

Jest to tylko inne sformułowanie udowodnionego powyżej twierdzenia; zgodnie z warunkiem

^an ^ ^an + 1 <    + 1 ^ b„ *

czyli lewy koniec a_n i prawy koniec b„ n-tego przedziału grają tu rolę ciągów monotonicz-nych {x_n) i {y_n}.

Ponieważ a_n dąży do c rosnąc, a b_n - malejąc, więc

(n = 1,2, 3, ...),

tj. punkt c rzeczywiście należy do wszystkich rozważanych przedziałów. Drugiego punktu c', różnego od punktu c, ale o powyższej własności być nie może, bo inaczej mielibyśmy

b„-a_n>\c'-c\>0,

i długość n-tego przedziału nie mogłaby dążyć do zera.

W dalszym ciągu będziemy się nieraz opierali na tym lemacie, który nosi nazwę lematu o przedziałach zstępujących.

§ 4. Kryterium zbieżności. Punkty skupienia

39. Zasada zbieżności. Niech dany będzie ciąg {jc„} o wartościach (1)    x_1}x₂, ...,x_n, ...........

Zajmijmy się teraz ogólnym kryterium istnienia skończonej granicy dla tego ciągu. Sama definicja granicy temu celowi służyć nie może, bo występuje w niej już granica, o istnienie której pytamy. Potrzebujemy kryterium korzystającego tylko z tego, co wiemy, a mianowicie z ciągu (1) wartości x„.

Postawione zagadnienie rozwiązuje następujące ważne twierdzenie należące do czeskiego matematyka B. Bolzano i francuskiego matematyka A. L. Cauchy’ego; nazywamy je kryterium zbieżności.