MAT19

19

Niech/: R => Df -* R będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a, 6] c D/ i niech m := inf J{x)

xs[a.b]

oraz M := sup J{x). Różnicę M- m nazywamy wahaniem f na przedziale [ar,b].

xe [a,6]

a = x o < x\ <...< x„ = b podział przedziału [a, b]

AXi : = [.v/■_i,.vi ], |Ax,j := x, - .v,_i (/ = 1 ____n), 8„ :=max |Ax,j średnica podziału

1 <i<n

mi : = inf J{x), Mj :=sup j{x), ć, e Ax, punkt pośredni.

xe&.r,    xeAt,

Teraz definiujemy następujące sumy

n

s„ := y, /?7/|Ajc, | suma dolna,

i-i

n

o_n := y^,)|Av,l suma przybliżona,

/-i

n

S„ := / , A/, jAx, j suma górna.

/-i

Stwierdzenie. w(6 - a) < s„ < o„ < S„ < M(b - a).

Dalej, tworzymy ciąg podziałów dla n - 1,2.... i nazywamy go ciągiem normalnym podziałów przedziału [a,b], gdy lim<5„ = 0.

Def. Jeżeli ciąg (o„) jest zbieżny przy każdym ciągu normalnym podziałów przedziału [a,b], i to zawsze do tej samej granicy bez względu na dobór punktów podziału i punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całka oznaczoną Riemanna funkcji/na przedziale [o, b] i oznaczamy symbolem

b

\j[x)dx.

a

Tw. Dla każdego normalnego cicigu podziałów przedziału [a,b ] istnieją granice

b    ~b

=:    IimS,, =: J"7W*,

a_ a

przy czym

oraz

sups„ =

nsN

b

\Ax)dx,

inf5„ = f J{x)dx.

n€jV    ^J

a

b    b

!"//)<& i j//)<r/.Y nazywamy odpowiednio całką górną i całką

Uwaga. Określone wyżej całki

a_ a

dolną w sensie Darboux funkcji/na przedziale [a, b}.

Uwaga. Zapis/ e L{[a,b]) oznacza, że/ma całkę Riemanna na przedziale [a,b] lub inaczej, że/ jest całkowalna w [a,b].

Opracował: Marian Malec