0067

68 I. Teoria granic

który służy za punkt wyjścia do obliczenia liczby e. Odrzucając ostatni dodatkowy wyraz, i zastępując każdy z pozostałych wyrazów jego przybliżeniem dziesiętnym, otrzymujemy przybliżoną wartość liczby e.

Postawmy sobie za zadanie obliczenie za pomocą wzoru (7) liczby e np. z dokładnością do 1/10⁷. Przede wszystkim należy ustalić, jaką należy obrać liczbę n (którą dysponujemy), żeby otrzymać tę dokładność.

2,00000000

=0,50000000

1

77

Obliczając kolejno liczby odwrotne do silni (por. podaną tabliczkę), widzimy, że przy n = 10 dodatkowy wyraz wzoru (7) jest już mniejszy niż

0

0

<0,000 000 03

n !n 10! 10

oraz że odrzucając go otrzymamy dokładność znacznie mniejszą niż postawione ograniczenie. Zatrzymajmy się nad tą wartością n. Każdy z pozostałych wyrazów zamieńmy na ułamek dziesiętny, zaokrąglając (ze względu na dokładność) na ósmym miejscu dziesiętnym, tak by dokładność co do wartości bezwzględnej była mniejsza niż połowa jedynki na ósmym miejscu, tj. mniejsza niż 1/2-10⁸. Rezultaty umieściliśmy w tabliczce.

Obok liczby przybliżonej stawiamy znak (+ lub -), wskazujący na znak poprawki, którą należałoby dodać dla ustalenia liczby dokładnej.

Jak widzimy, poprawka na odrzucenie dodatkowego wyrazu jest mniejsza niż 3/10⁸. Uwzględniając teraz jeszcze poprawki na zaokrąglenie (ze znakami) łatwo zauważyć, że sumaryczna poprawka do otrzymanego przybliżenia liczby e leży pomiędzy

-=0,16666667-

3!

1

4!

-=0,04166667-

— = 0,00833333 + 5!

— = 0,00138889-6!

1

77

1

In

i

97

i

10!

=0,00019841 + =0,00002480 + =0,00000276-= 0,00000028-

10⁸

oraz

+ -

10⁸

2,718281 81

Zatem sama liczba e zawiera się pomiędzy ułamkami

2,71828178 i 2,71828186,

czyli można przyjąć

e=2,718281 8+0,0000001.

Zauważmy przy okazji, że wzór (7) może służyć także dla ustalenia niewymiemości liczby e.

Rozumując przez sprowadzenie do niedorzeczności, spróbujmy przyjąć, że e jest liczbą wymierną postaci m/n; jeżeli wówczas właśnie dla tego n napiszemy wzór (7), to otrzymamy

mil    10

— = 1 +—+—+... H—. H——

1 ! 2!

ni n\n

(O<0<1).