1002889906

Wykład 5 - Transformacje 3D

Transformacja przestrzeni trójwymiarowej nazywamy przekształcenie L:R³ —>P³ postaci:

L(x, y, z)⁼{a_xx+b_x y+c_lz+d_{,a₂x+b₂y+c₂z+d₂,a₃x+b₃y+c₃z+d₃)

Punkt P' = L(P) nazywamy obrazem punktu P w przekształceniu L. Podobnie jak na płaszczyźnie translacji będziemy opisywać za pomocą macierzy podanych we współrzędnych jednorodnych.

Punkt p(x,y,z)^R³ we współrzędnych jednorodnych w reprezentacji (x,y,z,l) lub (tx,ty, tz, t) dla t¥= 0

Możemy przyjąć, że punkty (x,y,z)^R³ odpowiadają    punktowi    (x, y, z,l )e/?⁴ lub

(x,y,z,w) leżącego w przestrzeni w=l.

Y

Jeśli w^O , to punkt (x,y,z,w) reprezentuje punkt (xlw, ylw. ,z/w)GR³- Zbiór wszystkich współczesnych jednorodnych (x,y,z,w) nazywamy trójwymiarowa przestrzenią rzutową i oznaczamy p³ .

Współrzędnym jednorodnym (x,y,z,0) nie odpowiada żaden punkt przestrzeni p³ . Mówimy, że jest to punkt nieskączoności o kierunku [x,y,z].

Przykład

Współrzędne jednorodne (2,3,-4,5),    (4,-6,8,10),    (6,9,-12,15) reprezentują ten

sam punkt w p³ (2/5,3/5,-4/5). Istotnie (2/5,3/5,4/5,1)    =    1/5(2,3,-4,5)    =

= -1/10(-4,-6,8,-10) = 1/15(6,9,-12,15)

Podobnie jak przekształcenia 2D były reprezentowane we współrzędnych jednorodnych przez macierz 3x3 tak przekształcenia 3D będą reprezentowane przez macierze 4x4. Zatem, jeśli P' = L(P)

x'		0,	^b\	c,	dx		X
y'	_	d2	b2	^C2	d2	*	y
z'		^a3	b3	^C3	^d3		z
i		0	0	0	1		1

Opisując poszczególne transformacje będziemy kożystać z prawoskrętnego układu współrzędnych.

Układ prawoskrętny