3582308265

Wykład 11

Grupy

Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i działania binarnego o, które spełnia własności:

(i)    Działanie o jest łączne, czyli

Va, 6, c £ G a o (b o c) = (a o 6) o c.

(ii)    Działanie o posiada element neutralny, to znaczy

3e £ G Va £ G a o e = e o a = a.

(iii)    Każdy element jest odwracalny względem o, to znaczy

Va £ <j3a' £ G a o a' = a! o a = e,

gdzie e jest elementem neutralnym tego działania.

Jeśli dodatkowo

(iv)    Działanie o jest przemienne, to znaczy

Va,b £ G ao b = bo a,

to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną).

Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania (G,o).

Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać będziemy przez a^-1.

Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli:

(i)    \fhi, hi £ H hi o hi £ H.

(ii)    e £ H.

(iii) VheH h-¹ £ H.

Łatwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H, o) jest grupą.

Przykłady grup

1.    (Z,+), (E, -f) są grupami abelowymi.

2.    Jeśli (P, +, •) jest pierścieniem to {P, +) jest grupą abelową oraz (P*, ■) jest grupą (gdzie P* oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P). W szczególności zbiór macierzy n x n nad danym ciałem /f, o wyznaczniku niezerowym jest grupą ( dla n > 1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez Gl^-K) i mamy:

Gl_n(P') = {A £ M_n(K) : det A ± 0}

1