6442373932

13

.. STRUKTURY ALGEBRAICZNE

W szczególności grupa przemienna (zwana także abelową) to taka, w której operacja p2 jest przemienna, co wyraża diagram przemienny

SxS ^Ts > S x S

PRZYKŁAD(Y) 5.

(1)    Czwórka (&x, °, (O^-1-• ¹—“ idx) złożona ze zbioru ©x permutacji elementów pewnego zbioru X (tj. bijektywnych odwzorowań a : X O), (nieprzemiennej) operacji 2-argumentowej o będącej złożeniem (czyli superpozycją) odwzorowań, operacji 1-argumentowej <7 •—> er^-1 brania odwrotności odwzorowania i operacji O-argumentowej • 1—> idx, której obrazem jest odwzorowanie identycznościowe. Opisana grupa nosi miano grupy symetrycznej na X.

indexgrupa!symetryczna W przypadku zbioru X = l,n stosuje się oznaczenie &x = ©n-

(2)    Czwórka {3?{G),p2,PuPo) będąca podgrupą (dowolnej) grupy (G,p2, (pupo) o nośniku

2T(G):={zeG | V_9eC : tp₂(z,g) = fa(g,z) } zwanym centrum grupy G.

(3)    Przykładem grupy odgrywającej istotną rolę w opisie topologii zbiorów, a więc także w geometrii, jest grupa podstawowa 7Ti(Y; x*) przestrzeni topologicznej X o bazie x* e X (przestrzenie topologiczne są omawiane na kursie analizy matematycznej, por., np., [Mau91, Rozdz. II] oraz [Die68, Rozdz. XII] w połączeniu z [Die65, Rozdz. II]), której konstrukcję pokrótce tu opiszemy, odsyłając zainteresowanych dalszymi szczegółami do literatury źródłowej, np., [Leell, Rozdz. 7]. Podstawowymi obiektami są tutaj ścieżki w X, tj. ciągłe odwzorowania¹

7 : I := [0,1] —> X,

na które nakładamy dodatkowy warunek zamkniętości,

7(0)=7(1),

co ogranicza nasze rozważania do pętli w X. Pętle o bazie x* € X to takie, dla kórych zachodzi

7(0) = x*.

Wyróżniamy pośród nich pętle stałe (o bazie x* e X) postaci £** ^: I —* X : 11—* x* .

1

Pojęcie ciągłości jest dyskutowane na kursie analizy matematycznej, patrz, np., [Mau91, Rozdz.II§7] i [Die65, Rozdz.II.il].