3813573919

15

1.1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE PROSTE

W świetle Twierdzenia Cayleya grupa symetryczna jest strukturę, podstawową, w teorii grup.

(3)    Czwórka (iT(G), 02, 0i, 0o) będąca podgrupą (dowolnej) grupy (G, 02, 0i,0o) o nośniku

se(G)-.= {ztG | v_s6G : 02(z,s) = <t>2(g,z)} zwanym centrum grupy G.

(4)    Dla dowolnej grupy przemiennej (G, 02,0i, 0o) i dowolnego zbioru niepu-stego S określamy grupę przemienną (Map(5, G), 02,0i, 0o), której nośnikiem jest zbiór odwzorowań z S w G z działaniem 2-argumentowym 02 indukowanym przez 02 wedle formuły:

?2(/l,/₂) ■ 5¹    * G ■ *i-»^(/l(8),/2(«)),

zapisanej dla dowolnych /i,/2 € Map(S, G), z działaniem 1-argumento-wym 0i indukowanym przez 0i wedle formuły:

Mf) : S > G :    (/(«)),

zapisanej dla dowolnego / e Map(S',G), oraz z działaniem O-argumento-wym 0o indukowanym przez 0o wedle formuły:

0o(*) ^: S—>G : si—* 0o(*) •

(5)    Czwórka

(Aut(G),o,(.)^_1,{.} — id_G) ,

w której Aut(G) jest zbiorem automorfizmów grupy G, jest grupą, określaną mianem grupy automorfizmów G. Odwzorowania postaci

Ad;, ■ G O ■ 9 '—* h-g-h^-1, htG,

są automorfizmami G, zwanymi automorfizmami wewnętrznymi. Tworzą one podgrupę normalną Inn(G) c Aut(G) określaną jako grupa automorfizmów wewnętrznych G. Każdy automorfizm z Aut(G) \ Inn(G) określamy mianem automorfizmu zewnętrznego.

(6) Niechaj x ^:    —* G2 będzie homomorfizmem grup. Jądro homomor-fizmu

Kerx ■= { gtGi | _X(fl) = e⁽²⁾ } ,

wraz z ograniczonymi doń operacjami Gi jest podgrupą normalną tejże grupy i każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu. Podobnie obraz homomorfizmu

Im X ■■= { 9 « Gi | 3/mg, ^: 9 = _X0) } = _X(Gi) wraz z ograniczonymi doń operacjami G2 jest podgrupą tejże grupy.

(7)    Grupa ilorazowa grupy (G, 02,0i,0o) względem dzielnika normalnego H to grupa (patrz: [Susl3, Stw.40])

(G/ff,®,Inv_G/fr,M — H)

0    nośniku

G/H := { gH | jfG}

1    operacjach określonych, jak następuje (poniżej g, g\, 52 6 G są dowolne)

• mnożenie: giii” © g^H ■= g\H • g^H-,