3813573917

13

1.1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE PROSTE

Grupa przemienna (zwana też abelową) to taka, w której działanie grupowe jest przemienne, co wyraża diagram przemienny (wypisany wraz z równoważnym zdaniem logicznym)

GxG ^TG > G x G

<t>2    = VgMG '• <f>2(g,h) = 02(h,g) ,

G

a zatem taka, która jest kanonicznie izomorficzna z grupą do niej przeciwną,

Podgrupa grupy (G,02,0i,0o) to czwórka (if,02fflxifł0i 0o)> ^w której H jest podzbiorem G o następujących własnościach:

(SG1) 0₂ : H^x2—*HcG-,

(SG2) 0i : H —► H cG.

Mówimy, że operacje grupowe ograniczone do H domykają się w H.

Dzielnik normalny (albo inaczej podgrupa normalna) grupy (G, 02,0i, 0o) to jej podgrupa (o nośniku) H c G o własności

VgeG ^: 02^, 02^, 01 (tf))) = H.

Homomorfizm grupy (Gi,^\<p^\ 0^) w grupę (G2,<f$\ to odwzorowanie

X : Gi — G₂

o własności wyrażonej przez diagram przemienny (wypisany wraz z równoważnym zdaniem logicznym):

	Gfi x Gi	->Gi
(GH)	J	I*
	G2 X g2 —--

NOTACJA 1. Dwa najbardziej rozpowszechnione zapisy dla grup to

•    zapis multyplikatywny (02>0iie) = (• = M,Inv = (•)^_1,l) =(mnożenie, odwrotność, jedynka), w którym wprowadzamy pojęcie potęgi

VneINs{0} ^VfleG ^: 9™ '■= 9'9 ‘g ^A 9~^{U :}= 9~^l ‘ 9~*.....9~* i ^V»eG ^: 9° '■= e ,

n razy    n razy

o oczywistych własnościach:

^Vm,nelNs{0} ^VSeG ^: 0™ ' 0™ = 0^{m+?l A} Inv(ffⁿ) =    .

•    zapis addytywny (02,0i, e) = (+ = A, P = -(-),0) = (przeciwność, dodawanie, zero), w którym wprowadzamy pojęcie krotności

V_n6]rK{0} ^vs€G = ng:=g + g + - + g a - ra# := (-g) + (-g) + - + (-g),