3813573932

Rozdział 1

Struktury algebraiczne i ich transport 1.1. Struktury algebraiczne proste

Naszą algebraiczną awanturę rozpoczniemy od ustalenia uniwersalnego języka, którego będziemy konsekwentnie używać do opisu konstrukcji i formułowania stwierdzeń w dalszej części kursu.

DEFINICJA 1. Niechaj S będzie zbiorem i wprowadźmy oznaczenie

S™ :=XS.

i= 1

Dla dowolnej liczby n € IN \ {0} operacja n-argumentowa na S to odwzorowanie : S^xn —* S.

Pojęcie to rozszerzamy na przypadek n = 0 przyjmując konwencję S^x0 := {•} (zbiór jednoelementowy, czyli singleton) i określając operację O-argumentową

<h ■ s^x0 —5,

którą w dalszej części wykładu będziemy najczęściej utożsamiać z obrazem elementu • w S względem 0o,

<h(*) = eo < S,

zwanym stałą.

▲

Powyższa definicja pozwala wprowadzić pojęcie centralne dla całej naszej dalszej dyskusji.

DEFINICJA 2. W notacji Def. 1 struktura algebraiczna prosta o nośniku S to kolekcja

złożona ze zbioru S oraz - dla pewnych ustalonych liczb naturalnych ki > k,2 > ...> kn > 0, A € IN \ {0} - z operacji /cj-argumentowych 0^, i € 1, A. Własności operacji współdefiniujących strukturę oraz ich wzajemne relacje są określane przez aksjomatykę struktury¹.

Podstruktura algebraiczna (prosta) na podzbiorze P c S to analogiczna do poprzedniej kolekcja

(P,0fc₁,0fc₂,...,0fe_N)

9

1

Mowa tu o takich własnościach operacji jak łączność, przemienność, neutralność stałej, rozdzielność jednej operacji względem drugiej etc.