3813573920

16

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE I ICH TRANSPORT

•    odwrotność: lnvQ/fj(gH) := g ¹H:

•    jedynka: 1_G/H := H.

(8) Przykładem grupy ilorazowej jest grupa automorfizmów zewnętrznych (zwana także - bardziej adekwatnie² - grupą klas automorfizmów)

Out(G) := Aut(G)/Inn(G).

PRZYKŁAD (Y) 2. (Homomorfizmy)

(1) Przykłady arytmetyczne (opuszczamy oczywiste elementy struktury):

	(g2,4^2>)	X	typ
(R>o, •)	(R>o,-)	X i-► 2 € Q	injektywny endomorfizm
(IW)	(»,+)	x i—> log a:	izomorfizm
(E,+)	(R>0i •)	x>—>e^Xx, AeR^x	izomorfizm
(CYc)	(CYc)	ż i—*■ z	automorfizm
(C,+c)	(C,+c)	z i—*■ z	j/w
(CYc)	(IW)	2^1— 1*1	epimorfizm
(R.+)	(U(l).-c)	x i—► e^lAx, A e R^x	epimorfizm

(2)    Znak permutacji sgn : &x —*■ {-1,+1} = Z/2Z to jedyny homomorfizm grup spełniający tożsamość sgn(r_a;0t!/0) = -1 dla dowolnej transpozycji r_Xo,_yo ^€ (^w zapisie Przykł. 1 (2)).

(3)    Każda podgrupa H c G zadaje kanoniczny monomorfizm jh '■ H ^ G, zwany standardowym włożeniem, który utożsamia elementy H traktowanego jako niezależny zbiór z tymi samymi elementami H traktowanego jako podzbiór G.

(4)    Operacja 1-argumentowa <fii '■ G C) zadaje izomorfizm między grupą G a przeciwną do niej.

(5)    Odwzorowanie

Ad. : G —Inn(G) : g —* Ad_g jest epimorfizmem grup.

(6)    Odwzorowanie

■Kg/h ■ G^G/H : g ■—* gH

^Należy zauważyć, że elementami Out(G) nie są automorfizmy zewnętrzne G, lecz ich warstwy w Aut(G).