3813573916

12

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE I ICH TRANSPORT

STWIERDZENIE 1. Każdy monomorfizm jest izomorfizmem dziedziny na jej obraz względem tego monomorfizmu.

Tytułem ilustracji powyższej abstrakcyjnej i ogólnej definicji przypomnimy teraz szczegółowe definicje podstawowych struktur algebraicznych o kluczowym znaczeniu dla teorii grup i algebry liniowej oraz ich morfizmów.

DEFINICJA 4. Grupa to czwórka (G,02,0i,0o)> w której

•    G jest zbiorem;

•    02 ^: G^x2 —*■ G jest operacją 2-argumentową zwaną działaniem grupowym;

•    0i ^: G O jest operacją 1-argumentową;

• 0o ^: {•} —* G : • i—* e jest operacją O-argumentową o wartości zwanej elementem neutralnym.

Elementy struktury spełniają następujące aksjomaty (wyrażone przez diagramy przemienne i równoważne zdania logiczne):

(Gl) (łączność działania grupowego)

idGX<Ż>2

GxG-

v_g,hMG ^: <h(<h(g,h),k) = <h(g,<h(h,k));

(G2) (neutralność stałej e względem działania grupowego)

G x {.} ^id°^x0° )GxG <t> 2 ’ G

= V₉j_G : <t>₂(g,e) =g = <t>₂(e,g)\ (G3) (fundamentalna własność 0i)

= v_56G : 4>2{g,(i>\{g)) = e = (j)2{(t>i{g),g) ■

Grupa przeciwna do (G, 02,0i,0o) to grupa (G, 02^PP,0i,0o) zdziałaniem danym wzorem

02^{PP :}=    ° ^TG .

patrz: Konw. 2.