3813573918

14

(i.i)

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE I ICH TRANSPORT

V_S(G : 0g:= 0

o oczywistych własnościach:

^vm,ns(K{0} ^v9sG ^: mg + ng = (m + n)g a P(ng) =-ng.

Ten ostatni najczęściej stosuje się w odniesieniu do grup przemiennych. Poniżej będziemy (niemal) konsekwentnie używać zapisu multyplikatywnego.

Nader istotnym obiektem, wykorzystywanym w podstawowych konstrukcjach algebraicznych, jest

DEFINICJA 5. W notacji Def. 4 warstwa lewostronna względem podgrupy H w grupie G to zbiór

gH-.= {g-h | htH]

dla pewnego g € G. Analogicznie definiujemy warstwę prawostronną względem podgrupy H w grupie G,

Hg := { h- g \ heH}.

▲

Mamy tu także przydatną

DEFINICJA 6. Niechaj (G,(f>2 =    będzie grupą w rozumieniu Def. 4

i niech S cG będzie podzbiorem jej nośnika o własności

Xi,X2 ,...,x_neS

^gzG 3 neIN\{0} ^: 9 ~ ^x\ '    .....^xn

,k_ne Z

Wówczas S nazywamy zbiorem generatorów grupy G, o samej zaś grupie mówimy, że jest generowana przez zbiór S, co zapisujemy jako

G = (S).

PRZYKŁAD (Y) 1. (Struktury)

(1)    Grupa trywialna: ({e},(e,e)i—*e,e>—> e, {•} >—> e).

(2) Czwórka    ¹—>-idx) złożona ze zbioru 6x permutacji elementów pewnego zbioru X (tj. bijektywnych odwzorowań a : X O), (nieprzemiennej) operacji 2-argumentowej o będącej złożeniem (czyli superpozycją) odwzorowań, operacji 1-argumentowej a •—» er^-1 brania odwrotności odwzorowania i operacji O-argumentowej • 1—» idx, której obrazem jest odwzorowanie identycznościowe. Opisana grupa nosi miano grupy symetrycznej na X. W przypadku zbioru X = l,n stosuje się oznaczenie ©x = ©n- Grupa symetryczna na zbiorze X jest generowana przez zbiór wszystkich transpozycji, tj. permutacji postaci