3813573925

20

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE I ICH TRANSPORT

o własnościach wyrażonych przez diagramy przemienne (wypisane wraz z równoważnymi zdaniami logicznymi):

(RH1)

(RH2)

4(0

Ri x R_x --> i?!

Vx,y*Ri ^:    x(x +(1) y)

= x(*)+(i)x(y) ’

4(2)

i?2 ^x R2 -> R2

r> r> ^M<1) r>

Rl X Ri -y R₁

Vx,yeR₁ ■    X(X'(1 )V)

=    -(2) x(y) ’

D O ^M(2) V T>

i?2 ^x R2 -y R2

>Rl

(RH3)

J?2

A

PRZYKŁAD(Y) 3. (Struktury)

(1)    Pierścień trywialny: ({0 = 1}, (0,0) 1—> 0, (0,0):—>0,0:—>0,0'—* 0,

• >—>0, •'—. o).

(2)    Szóstka (Z, +, •, n >—* -n, • i—* 0, • i—*• 1) to pierścień przemienny.

(3) Szóstka (Z/nZ, ([/c]_n, [Z]_n) •—> [k + /]_n, ([fc]_n, [l]n) ¹—* [fc*J]n»[k]n ¹—* [n-fc]_n,« i—► [0]_n,. i—*■ [l]_n), określona dla n := p • q, gdzie p,q € IN \ {0,1} są dowolne, jest pierścieniem przemiennym z nietrywialnymi dzielnikami zera (bo np. iloczyn niezerowych liczb [p]_n i [ę]_n jest równy [0]„).

(4)    Zbiór C(S, R) funkcji ciągłych na podzbiorze ScRo wartościach rzeczywistych z dodawaniem, mnożeniem i braniem przeciwności zdefiniowanymi punktowo,

(.f + g)M'-=f(,x)+g(x), (f-g)(x) ■■=/(*)-g(x),    (-/Kas) := -/(»),

dla dowolnych f,g e C(S,C) i x e S, oraz z funkcją zerową

0    : S —* {0} : x i—*■ 0

jako elementem neutralnym dodawania, a także funkcją stałą

1    : S —* {1} : xi—*-1

jako elementem neutralnym mnożenia jest pierścieniem przemiennym nie będącym dziedziną całkowitości, o ile |S^,| > 1 (wystarczy rozważyć funkcje