6442373935

16

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE

DEFINICJA 9. Ciało to siódemka (S,    w której szóstka (S,02 ,02 »0i >0o ’    ) J^est pierścieniem przemiennym, natomiast

0^ : S \ {0q^1}(«)} =: 5* O jest operacją 1-argumentową (o ograniczonym nośniku) o własności wyrażonej przez diagram przemienny

PRZYKŁAD(Y) 8. Siódemka (Z/pZ, ([k]_p, [l]_p) *—*■ [k + l]_p, ([fc]_p, [Z]_p)    *

[k-l]_p,[k]_p i—*■ [p~k]_p,[k]p i—*■ [fc]_p,«i—*■ [0]_p,.i—>■ [l]_p), określona dla dowolnej liczby pierwszej p, o nośniku

Z/pZ = {[0]p,[l]p,[2]p,...,[p-l]_p}

będącym zbiorem reszt modulo p ([a;]_p jest resztą z dzielenia liczby x przez p), w którym każdej reszcie [fc]_p odpowiada (dokładnie jedna) reszta [fc]_p o własności [k ■ k]_p = [0]_p. Struktura ta nosi miano ciała reszt modulo p.

/

Oprócz powyższych rozpatruje się struktury bardziej złożone, jak choćby struktury modulo- i algebropodobne, w których skład wchodzą dwa zbiory i kilka operacji 2-argumentowych, także mieszanych. W dalszej części kursu zajmiemy się tymi spośród nich, które pełnią szczególnie istotną rolę w matematycznym modelowaniu przyrody, a mianowicie modułami nad pierścieniem danym i - jeśli czas na to pozwoli - algebrami Liego. Ponadto wspomnimy o strukturach noszących miano algebr Clifforda, wyposażonych w co najmniej 4 działania 2-argumentowe (zwane iloczynem zewnętrznym i iloczynami wewnętrznymi). Pojawią się też przestrzenie Hilberta o dodatkowej strukturze (analitycznej) przestrzeni Banacha.