6442373929

10

.. STRUKTURY ALGEBRAICZNE

O ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, będziemy czasem używać nazwy konkretnej struktury algebraicznej w odniesieniu do zbioru będącego jej nośnikiem.

W dalszej części wykładu dokonamy abstrakcji prostych struktur algebraicznych ze znanych konstrukcji arytmetycznych.

PRZYKŁAD(Y) 1.

(1)    Liczby naturalne:

•    zbiór IN = {0,1,2,...};

•    operacja 2-argumentowa

+ : lN^x2—► IN : (m,n) i—>m + n o własnościach:

ym,neN '■ m + n = n + m (przemienność);

Vfc,i,meIN ^: (k +1)+m= k + (l+ m) (łączność);

•    element 0 neutralny względem +, który spełnia

V_nejN : n + 0 = n = 0 + n.

(2)    Liczby całkowite:

•    zbiór Z = {...,-2,-1,0,1,2,...};

•    operacja 2-argumentowa

+ : Z^x2—»■ Z : (m,n) i—*m + n o własnościach j/w;

•    element 0 neutralny względem + j/w;

•    operacja 1-argumentowa

P : Z —» Z : n ■—* -n

o własności

V_n<= z ^: n + P(n) = 0.

Stosujemy tu skrócony zapis: m + (-n) = m-n.

(3)    Liczby wymierne:

•    zbiór Q = (Z x (Z x {0})) / przy czym (p, q) ~ (r, s) <=* ^def > p-s = q-r - łatwo pokazać, że jest to relacja równoważności¹ na Zx(Zx{0}), zadająca rozkład zbioru na klasy abstrakcji [(p, g)] =

•    operacje 2-argumentowe

+«J    ^:    Q*²—^: ([(P,«)], [(»■, s)])    •—►    [(p-s + g-r,® - s)],

•<J    ^:    Q*² —Q • ([(p,?)], [(>-,«)])    ¹—►    [(p -r, q-s)]

o własnościach:

^— +q i 'Q przemienne i łączne j/w;

^_ Vo,6,c€q ^: cl -q (6 +q c) = (a -q b) +q (a -q c) (rozdzielność -q względem +q);

1

0 relacjach równoważności traktuje kurs analizy matematycznej, por., np., [Mau91,

2

Rozdz.I§4] i [Die65, Rozdz. 1.8].