3813573921

17

1.1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE PROSTE

określamy mianem homomorfizmu kanonicznego grupy G w jej grupę ilorazową G/H. Bywa ono też nazywane rzutem kanonicznym

modulo H.

S

Poniżej zbieramy elementarne wyniki strukturalne dotyczące homomorfizmów grup.

TWIERDZENIE 1.1 (Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie (dla grup)). W notacji Def.Ą oraz Przykł. 1 (6) i (7) Ker y jest dzielnikiem normalnym G\, a nadto istnieje kanoniczny izomorfizm grup

G i/Kery = Imy.

Dowód: Patrz: [Susl3, Tw. 5.1).    □

Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie pozwala nam dokonać kanonicznego rozkładu dowolnego homomorfizmu.

TWIERDZENIE 1.2 (O uniwersalności rzutu kanonicznego). W notacji Def. 4, Przykł. 1 (6) i (7) oraz Przykł. 2 (3) i (6) (dla H = Ker x) istnieje dokładnie jeden monomorfizm indukowany

X • Gi/Kerx»G₂

o własności

(1-2)    X = X°*G,/Kerx-

Indukuje on - wedle Tw. 1.1 - izomorfizm

X_x : Gi/Kerx—*Imx, co pozwala rozłożyć y w postaci

X =    ° \c ° '"‘C,/Ker_x ,

gdzie j\_mx : Im y ^ G2 jest standardowym włożeniem.

Dowód: Patrz: [Susl3, Tw. 5.2].    □

W następnej kolejności rozważymy

DEFINICJA 7. Pierścień to szóstka (R, A, M, P, 0,1), w której

•    R jest zbiorem;

• A : R^x2 —»■ R : (x,y) 1—» A(x,y) = x+Ry jest operacją 2-argumentową zwaną dodawaniem;

• M : R^x2—>R : (x,y) 1—► M(x,y) = x-Ry jest operacją 2-argumentową zwaną mnożeniem;

• P : R —* R : x 1—> P(x) = -x jest operacją 1-argumentową zwaną braniem przeciwności;

• 0 : {•} —*■ R : • 1—> 0 jest operacją O-argumentową zwaną zerem;

• 1 : {•}—> R ■■ • i—> 1 jest operacją O-argumentową zwaną jedynką. przy czym składowe struktury spełniają następujące aksjomaty (wyrażone przez diagramy przemienne i równoważne zdania logiczne):